Use derivação termo a termo de séries conhecidas para representar as seguintes séries de potências:
x(1+x^2)^2 se |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências de
x(1+x^2)^2,
válida para |x|<1, usando derivação termo a termo de séries conhecidas. O conteúdo que vamos usar é a expansão da série geométrica e o fato de que podemos diferenciar série de potências termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Começamos pela série geométrica clássica, trocando x por -x^2:
11+ x^2 =sumn=0^infty(-1)^n x^2n,
válida para |x^2|<1, isto é, |x|<1.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
ddxl(11+x^2r) =-2x(1+x^2)^2
No lado direito aplicamos derivação termo a termo:
ddxsumn=0^infty(-1)^n x^2n =sumn=0^infty(-1)^n,(2n),x^2n-1

Passo 4

Igualando os dois resultados,
-2x(1+x^2)^2 =sumn=0^infty(-1)^n,2n,x^2n-1
Multiplicando por -tfrac12 para isolar tfracx(1+x^2)^2, temos
x(1+x^2)^2 =-tfrac12sumn=0^infty(-1)^n,2n,x^2n-1 =sumn=0^infty(-1)^n-1n,x^2n-1
Como o termo n=0 dá zero, podemos reindexar nmapsto n+1 para começar em zero com expoente ímpar:
x(1+x^2)^2 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),x^2n+1

Resposta

x(1+x^2)^2 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),x^2n+1, |x|<1

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