Use derivação termo a termo de séries conhecidas para representar as seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de potências de
válida para
, usando derivação termo a termo de séries conhecidas. O conteúdo que vamos usar é a expansão da série geométrica e o fato de que podemos diferenciar série de potências termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Começamos pela série geométrica clássica, trocando
por
:
válida para
, isto é,
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo,
No lado direito aplicamos derivação termo a termo:
Passo 4
Igualando os dois resultados,
Multiplicando por
para isolar
, temos
Como o termo
dá zero, podemos reindexar
para começar em zero com expoente ímpar: