Use diagonalização para calcular A^{10}, B^{35} e C^{13}.
A=\left[\begin{array}{cc} -4 & -3 \\\\ 10 & 7 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências de três matrizes usando diagonalização (ou, no caso de B, análise de bloco de Jordan). Vamos precisar de autovalores, autovetores e, em seguida, expressar cada matriz como PDP^{-1} (ou PJP^{-1}) para elevar ao expoente desejado.

Passo 2

Diagonalização de A.
  1. Calcular o polinômio característico de
A=\begin{pmatrix}-4 & -3\\\ 10 & 7\end{pmatrix}:
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(7-\lambda)+30 =\lambda^2-3\lambda+2=0,
com raízes \lambda_1=1, \lambda_2=2.
2. Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0:
\bigl[-5\;-3;10\;6\bigr]v=0 v_1=(3,-5)^T.
Para \lambda=2, (A-2I)v=0 v_2=(1,-2)^T.
3. Montamos
P=\begin{pmatrix}3&1\\\ -5&-2\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix}.
O determinante de P é -1, e
P^{-1} =\begin{pmatrix}2&1\\\ -5&-3\end{pmatrix}.
  1. Logo
A^{10} =PD^{10}P^{-1} =P\begin{pmatrix}1^{10}&0\\\ 0&2^{10}\end{pmatrix}P^{-1} =P\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1024\end{pmatrix}P^{-1}.
Fazendo as multiplicações, encontra-se
A^{10} =\begin{pmatrix}-5114 & -3069\\\\ 10230 & 6139 \end{pmatrix}.

Passo 3

Potência de B.
B=\begin{pmatrix}1&-2&3\\\ 0&-1&3\\\ 0&0&1\end{pmatrix}
é triangular com autovalores 1 (algebraica 2) e -1.
Ao contrário de A, B não é diagonalizável mas tem bloco de Jordan de tamanho 2 para \lambda=1. Uma forma direta é notar que B^2=I. De fato, um cálculo de B^2 dá a identidade I_3. Portanto, para qualquer inteiro n,
B^{2n}=I_3, \quad B^{2n+1}=B\cdot B^{2n}=B\cdot I_3=B.
Como 35 é ímpar,
B^{35}=B.

Passo 4

Diagonalização de C.
C=\begin{pmatrix}0&0&-2\\\ 1&2&1\\\ 1&0&3\end{pmatrix}.
  1. O polinômio característico é
\det(C-\lambda I) =-\lambda\bigl((2-\lambda)(3-\lambda)\bigr)-2\bigl(1\cdot0-(2-\lambda)\bigr) =-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4,
ou seja \lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=0. As raízes são \lambda=1 e \lambda=2 (com multiplicidade 2).
2. Autovetor para \lambda=1: resolve-se (C-I)v=0, dando v_1=(-2,1,1)^T.
Autovetores para \lambda=2: (C-2I)v=0 dá espaço de dimensão 2, por exemplo
v_2=(-1,0,1)^T e v_3=(0,1,0)^T.
3. Montamos
P=\begin{pmatrix}-2&-1&0\\\ 1&0&1\\\ 1&1&0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&2\end{pmatrix}.
O cálculo do adjunto de P mostra que \det P=1 e
P^{-1} =\begin{pmatrix}-1&0&-1\\\ 1&0&2\\\ 1&1&1\end{pmatrix}.
  1. Assim
C^{13} =P\begin{pmatrix}1^{13}&0&0\\\ 0&2^{13}&0\\\ 0&0&2^{13}\end{pmatrix}P^{-1} =P\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&8192&0\\\ 0&0&8192\end{pmatrix}P^{-1}.
Fazendo as multiplicações, obtém‐se
C^{13} =\begin{pmatrix} -8190 & 0 & -16382\\\\ 8191 & 8192 & 8191\\\\ 8191 & 0 & 16383 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{10}=\displaystyle\begin{pmatrix}-5114 & -3069\\\ 10230 & 6139\end{pmatrix}.\n
B^{35}=B=\displaystyle\begin{pmatrix}1&-2&3\\\ 0&-1&3\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.\n
C^{13}=\displaystyle\begin{pmatrix} -8190 & 0 & -16382\\\\ 8191 & 8192 & 8191\\\\ 8191 & 0 & 16383 \end{pmatrix}.

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