O enunciado pede para calcular as potências de três matrizes usando diagonalização (ou, no caso de B, análise de bloco de Jordan). Vamos precisar de autovalores, autovetores e, em seguida, expressar cada matriz como PDP^{-1} (ou PJP^{-1}) para elevar ao expoente desejado.
com raízes \lambda_1=1, \lambda_2=2.
2. Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0: \bigl[-5\;-3;10\;6\bigr]v=0 dá v_1=(3,-5)^T.
Para \lambda=2, (A-2I)v=0 dá v_2=(1,-2)^T.
3. Montamos
é triangular com autovalores 1 (algebraica 2) e -1.
Ao contrário de A, B não é diagonalizável mas tem bloco de Jordan de tamanho 2 para \lambda=1. Uma forma direta é notar que B^2=I. De fato, um cálculo de B^2 dá a identidade I_3. Portanto, para qualquer inteiro n,
ou seja \lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=0. As raízes são \lambda=1 e \lambda=2 (com multiplicidade 2).
2. Autovetor para \lambda=1: resolve-se (C-I)v=0, dando v_1=(-2,1,1)^T.
Autovetores para \lambda=2: (C-2I)v=0 dá espaço de dimensão 2, por exemplo v_2=(-1,0,1)^T e v_3=(0,1,0)^T.
3. Montamos