Use o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir
por
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente divida a função polinomial
pelo polinômio divisor
.
Informações dadas (listadas de forma clara):
Informações dadas (listadas de forma clara):
- O polinômio a ser dividido é
. (Coloquei o coeficiente em porque o termo não aparece no enunciado, mas é necessário para fazer a divisão corretamente.) - O divisor é
. - A tarefa é aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e obter o quociente e o resto da divisão.
Passo 2
O que é o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e por que usamos aqui.
- Ideia básica: para dividir um polinômio por um polinômio do tipo
(ou ), usamos uma tabela rápida onde o número usado é , a raiz do divisor (onde ). - No nosso caso o divisor é
. A raiz é o número que zera , ou seja, , porque . Portanto, no processo usamos . - Procedimento geral (resumido): escrevemos os coeficientes de
, “baixamos” o primeiro coeficiente para o quociente, multiplicamos por , somamos à próxima coluna, repetimos multiplicar por e somar até chegar no final; o último número obtido é o resto.
Passo 3
Preparar os coeficientes e a tabela.
- Escrevemos os coeficientes de
em ordem decrescente de potência, lembrando do para o termo ausente:
- Vamos usar
(como explicado no Passo 2). A tabela inicial é simplesmente esses coeficientes alinhados; agora aplicamos o algoritmo passo a passo.
Passo 4
Execução detalhada do algoritmo (cada operação explicada e calculada).
- Passo inicial da tabela: trazemos o primeiro coeficiente diretamente para o quociente.
- Baixamos
. Esse será o primeiro coeficiente do quociente (representando , pois o quociente terá grau ).
- Baixamos
- Multiplicamos o número baixado por
e somamos ao próximo coeficiente: - Multiplicação:
. - Soma com o próximo coeficiente:
. - Resultado
é o segundo coeficiente do quociente (correspondente a ).
- Multiplicação:
- Repetimos: multiplicamos
por e somamos ao próximo coeficiente: - Multiplicação:
. - Soma com o próximo coeficiente:
. - Resultado
é o terceiro coeficiente do quociente (correspondente a ).
- Multiplicação:
- Repetimos: multiplicamos
por e somamos ao próximo coeficiente: - Multiplicação:
. - Soma com o próximo coeficiente:
. - Resultado
é o quarto coeficiente do quociente (constante).
- Multiplicação:
- Finalmente: multiplicamos
por e somamos ao último coeficiente (isso dá o resto): - Multiplicação:
. - Soma com o último coeficiente:
. - Resultado
é o resto da divisão.
- Multiplicação:
Para visualizar, a sequência de operações sobre os coeficientes foi:
(na primeira linha estão os coeficientes originais; na segunda linha estão os produtos intermediários; na terceira linha estão os coeficientes finais do quociente e, por último, o resto.)
Passo 5
Interpretação dos resultados e construção do quociente e da relação de divisão.
- Os coeficientes do quociente são, na ordem,
. Logo o quociente é
- O resto obtido é
. - Portanto a relação da divisão é:
- Observação didática: o grau do quociente é realmente
(que é ), e o resto é um número (grau menor que o divisor, que tem grau ), como esperado.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: