Use o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir f(x)=3 x^{4}-7 x^{3}+2 x-1 por d(x)=x+1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente divida a função polinomial f(x)=3x^{4}-7x^{3}+2x-1 pelo polinômio divisor d(x)=x+1.
Informações dadas (listadas de forma clara):
  • O polinômio a ser dividido é f(x)=3x^{4}-7x^{3}+0x^{2}+2x-1. (Coloquei o coeficiente 0 em x^{2} porque o termo não aparece no enunciado, mas é necessário para fazer a divisão corretamente.)
  • O divisor é d(x)=x+1.
  • A tarefa é aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e obter o quociente e o resto da divisão.

Passo 2

O que é o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética) e por que usamos aqui.
  • Ideia básica: para dividir um polinômio por um polinômio do tipo x - r (ou x + a), usamos uma tabela rápida onde o número usado é r, a raiz do divisor (onde x-r=0).
  • No nosso caso o divisor é x+1. A raiz r é o número que zera x+1, ou seja, -1, porque (-1)+1=0. Portanto, no processo usamos r=-1.
  • Procedimento geral (resumido): escrevemos os coeficientes de f, “baixamos” o primeiro coeficiente para o quociente, multiplicamos por r, somamos à próxima coluna, repetimos multiplicar por r e somar até chegar no final; o último número obtido é o resto.

Passo 3

Preparar os coeficientes e a tabela.
  • Escrevemos os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de potência, lembrando do 0 para o termo ausente:
3,\,-7,\;0,\;2,\;-1
  • Vamos usar r=-1 (como explicado no Passo 2). A tabela inicial é simplesmente esses coeficientes alinhados; agora aplicamos o algoritmo passo a passo.

Passo 4

Execução detalhada do algoritmo (cada operação explicada e calculada).
  • Passo inicial da tabela: trazemos o primeiro coeficiente diretamente para o quociente.
    • Baixamos 3. Esse será o primeiro coeficiente do quociente (representando 3x^{3}, pois o quociente terá grau 4-1=3).
  • Multiplicamos o número baixado por r=-1 e somamos ao próximo coeficiente:
    • Multiplicação: -1 \cdot 3 = -3.
    • Soma com o próximo coeficiente: -7 + (-3) = -10.
    • Resultado -10 é o segundo coeficiente do quociente (correspondente a x^{2}).
  • Repetimos: multiplicamos -10 por r=-1 e somamos ao próximo coeficiente:
    • Multiplicação: -1 \cdot (-10) = 10.
    • Soma com o próximo coeficiente: 0 + 10 = 10.
    • Resultado 10 é o terceiro coeficiente do quociente (correspondente a x).
  • Repetimos: multiplicamos 10 por r=-1 e somamos ao próximo coeficiente:
    • Multiplicação: -1 \cdot 10 = -10.
    • Soma com o próximo coeficiente: 2 + (-10) = -8.
    • Resultado -8 é o quarto coeficiente do quociente (constante).
  • Finalmente: multiplicamos -8 por r=-1 e somamos ao último coeficiente (isso dá o resto):
    • Multiplicação: -1 \cdot (-8) = 8.
    • Soma com o último coeficiente: -1 + 8 = 7.
    • Resultado 7 é o resto da divisão.
Para visualizar, a sequência de operações sobre os coeficientes foi:
\begin{array}{c|rrrrr} -1 & 3 & -7 & 0 & 2 & -1\\hline & & -3 & 10 & -10 & 8\\\ & 3 & -10 & 10 & -8 & 7 \end{array}
(na primeira linha estão os coeficientes originais; na segunda linha estão os produtos intermediários; na terceira linha estão os coeficientes finais do quociente e, por último, o resto.)

Passo 5

Interpretação dos resultados e construção do quociente e da relação de divisão.
  • Os coeficientes do quociente são, na ordem, 3,\,-10,\;10,\,-8. Logo o quociente é
3x^{3}-10x^{2}+10x-8.
  • O resto obtido é 7.
  • Portanto a relação da divisão é:
f(x) = (x+1)\bigl(3x^{3}-10x^{2}+10x-8\bigr) + 7.
  • Observação didática: o grau do quociente é realmente 3 (que é 4-1), e o resto é um número (grau menor que o divisor, que tem grau 1), como esperado.

Resposta

Quociente: 3x^{3}-10x^{2}+10x-8
Resto: 7

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