Use o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir
por
.
Passo 1
O que o enunciado pede: dividir
pelo polinômio
. Ou seja, encontrar o quociente
e o resto
tais que
Informações dadas e observações imediatas:
- O polinômio dividendo é
. Observe que o termo em está ausente, então o coeficiente correspondente é . - O divisor é
, que não é monico (o coeficiente de não é ). - O método pedido é o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética). Para usar esse método precisamos de um divisor da forma
. Aqui usaremos a relação e, portanto, o valor a usar na divisão sintética é . - Resultado esperado: quociente de grau
e resto constante.
Passo 2
Explicando a ideia (mini-aula): Briot-Ruffini funciona diretamente quando dividimos por
. Se temos coeficientes do polinômio
listados, colocamos
à esquerda e fazemos operações de “baixar, multiplicar por
, somar” sucessivamente — no final obtemos os coeficientes do polinômio quociente
(grau uma unidade menor) e o último número é o resto
, tal que
No nosso caso
com
. Fazendo a divisão sintética por
obtemos
e
e então
Portanto o quociente ao dividir por
será
e o resto será
. Essa é a maneira padrão de lidar com divisores não monicos usando Briot-Ruffini: usar a raiz
do fator linear e depois ajustar dividindo o quociente por 2 (o coeficiente líder do divisor).
Passo 3
Preparando a divisão sintética:
- Coeficientes de
em ordem decrescente: . - Valor usado na sintética:
.
Agora aplicamos o procedimento “baixar, multiplicar por
, somar” passo a passo.
Passo 4
Executando passo a passo (cada operação explicada):
- Baixamos o primeiro coeficiente:
. Esse será o primeiro coeficiente de . - Multiplicamos por
: . - Somamos ao próximo coeficiente de
: . Esse é o segundo coeficiente de . - Multiplicamos por
: . - Somamos ao próximo coeficiente de
: . Esse é o terceiro coeficiente de . - Multiplicamos por
: . - Somamos ao próximo coeficiente de
: . Esse é o quarto coeficiente de . - Multiplicamos por
: . - Somamos ao último coeficiente de
: . Esse é o resto .
Resumo dos resultados da sintética: coeficientes de
são
e resto
Passo 5
Interpretando os resultados e ajustando para
:
- O polinômio
é
- Como explicado no Passo 2, ao dividir por
o quociente é . Portanto dividimos cada coeficiente de por , obtendo:
- O resto da divisão por
é o mesmo encontrado: .
Para reforçar a correção, um checape rápido multiplicando
por
e somando o resto:
-
. -
.
Somando essas duas linhas:
Agora somando o resto
ao termo constante:
obtemos exatamente
. Portanto os valores encontrados estão corretos.