Use o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir f(x)=x^{4}-3 x^{3}-5 x+4 por d(x)=2 x+1.

Passo 1

O que o enunciado pede: dividir f(x)=x^{4}-3x^{3}-5x+4 pelo polinômio d(x)=2x+1. Ou seja, encontrar o quociente q(x) e o resto r tais que
f(x) = d(x)\,q(x) + r.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O polinômio dividendo é f(x)=x^{4}-3x^{3}+0x^{2}-5x+4. Observe que o termo em x^{2} está ausente, então o coeficiente correspondente é 0.
  • O divisor é d(x)=2x+1, que não é monico (o coeficiente de x não é 1).
  • O método pedido é o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética). Para usar esse método precisamos de um divisor da forma x-c. Aqui usaremos a relação 2x+1=2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr) e, portanto, o valor a usar na divisão sintética é c=-\tfrac{1}{2}.
  • Resultado esperado: quociente de grau 3 e resto constante.

Passo 2

Explicando a ideia (mini-aula): Briot-Ruffini funciona diretamente quando dividimos por x-c. Se temos coeficientes do polinômio f listados, colocamos c à esquerda e fazemos operações de “baixar, multiplicar por c, somar” sucessivamente — no final obtemos os coeficientes do polinômio quociente Q_1(x) (grau uma unidade menor) e o último número é o resto R, tal que
f(x) = (x-c)\,Q_1(x) + R.
No nosso caso d(x)=2x+1=2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)=2(x-c) com c=-\tfrac{1}{2}. Fazendo a divisão sintética por x-c = x+\tfrac{1}{2} obtemos Q_1 e R e então
f(x) = (x+\tfrac{1}{2})\,Q_1(x) + R = (2x+1)\,\frac{Q_1(x)}{2} + R.
Portanto o quociente ao dividir por 2x+1 será q(x)=\dfrac{Q_1(x)}{2} e o resto será r=R. Essa é a maneira padrão de lidar com divisores não monicos usando Briot-Ruffini: usar a raiz \,c do fator linear e depois ajustar dividindo o quociente por 2 (o coeficiente líder do divisor).

Passo 3

Preparando a divisão sintética:
  • Coeficientes de f(x) em ordem decrescente: 1,\;-3,\;0,\;-5,\;4.
  • Valor usado na sintética: c=-\tfrac{1}{2}.
Agora aplicamos o procedimento “baixar, multiplicar por c, somar” passo a passo.

Passo 4

Executando passo a passo (cada operação explicada):
  1. Baixamos o primeiro coeficiente: 1. Esse será o primeiro coeficiente de Q_1(x).
  2. Multiplicamos por c: 1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{1}{2}.
  3. Somamos ao próximo coeficiente de f: -3 + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -3 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{7}{2}. Esse é o segundo coeficiente de Q_1(x).
  4. Multiplicamos por c: -\tfrac{7}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{7}{4}.
  5. Somamos ao próximo coeficiente de f: 0 + \tfrac{7}{4} = \tfrac{7}{4}. Esse é o terceiro coeficiente de Q_1(x).
  6. Multiplicamos por c: \tfrac{7}{4}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{7}{8}.
  7. Somamos ao próximo coeficiente de f: -5 + \bigl(-\tfrac{7}{8}\bigr) = -5 - \tfrac{7}{8} = -\tfrac{47}{8}. Esse é o quarto coeficiente de Q_1(x).
  8. Multiplicamos por c: -\tfrac{47}{8}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{47}{16}.
  9. Somamos ao último coeficiente de f: 4 + \tfrac{47}{16} = \tfrac{64}{16} + \tfrac{47}{16} = \tfrac{111}{16}. Esse é o resto R.
Resumo dos resultados da sintética: coeficientes de Q_1(x) são
1,\; -\tfrac{7}{2},\; \tfrac{7}{4},\; -\tfrac{47}{8}
e resto
R=\tfrac{111}{16}.

Passo 5

Interpretando os resultados e ajustando para 2x+1:
  • O polinômio Q_1(x) é
Q_1(x)=1\cdot x^{3} - \tfrac{7}{2}x^{2} + \tfrac{7}{4}x - \tfrac{47}{8}.
  • Como explicado no Passo 2, ao dividir por 2x+1 o quociente é q(x)=\dfrac{Q_1(x)}{2}. Portanto dividimos cada coeficiente de Q_1 por 2, obtendo:
q(x)=\tfrac{1}{2}x^{3} - \tfrac{7}{4}x^{2} + \tfrac{7}{8}x - \tfrac{47}{16}.
  • O resto da divisão por 2x+1 é o mesmo R encontrado: r=\tfrac{111}{16}.
Para reforçar a correção, um checape rápido multiplicando q(x) por 2x+1 e somando o resto:
  • 2x\cdot q(x) = x^{4} - \tfrac{7}{2}x^{3} + \tfrac{7}{4}x^{2} - \tfrac{47}{8}x.
  • 1\cdot q(x) = \tfrac{1}{2}x^{3} - \tfrac{7}{4}x^{2} + \tfrac{7}{8}x - \tfrac{47}{16}.
    Somando essas duas linhas:
(2x+1)q(x) = x^{4} -3x^{3} + 0x^{2} -5x - \tfrac{47}{16}.
Agora somando o resto r=\tfrac{111}{16} ao termo constante:
-\tfrac{47}{16} + \tfrac{111}{16} = \tfrac{64}{16} = 4,
obtemos exatamente f(x)=x^{4}-3x^{3}+0x^{2}-5x+4. Portanto os valores encontrados estão corretos.

Resposta

\text{Quociente } q(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{7}{4}x^{2}+\tfrac{7}{8}x-\tfrac{47}{16}
\text{Resto } r=\tfrac{111}{16}

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