Use a Equação de análise de série de Fourier para calcular os coeficientes a_{k}\) para o sinal periódico de tempo contínuo \[x(t)= \begin{cases}1.5, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & 1 \leq t<2\end{cases}
com frequência fundamental (\omega_{0}=\pi].
Resp: a_{k}= \begin{cases}0 & k=0 \\\ e^{-j k \pi / 2} \frac{3 \sin (k \pi / 2)}{k \pi} & k \neq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os coeficientes \,a_{k}\,\) da série de Fourier (equação de análise) para o sinal periódico de período \(\,T\)\, definido por \[x(t)= \begin{cases}1{,}5, & 0 \leq t<1 \\[4pt] 0, & 1 \leq t<2\end{cases}
e foi dada a frequência fundamental \,\omega_{0}=\pi\]. Informações relevantes fornecidas: \[\omega_{0}=\pi.\] O sinal é periódico com um período completo no intervalo \([0,2) (da forma dada).
A tarefa: calcular todos os coeficientes \,a_{k}\, (para k\in\mathbb{Z}) usando a equação de análise da série de Fourier.]

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (equação de análise da série de Fourier exponencial) e explico cada termo:
a_{k}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt.
Explicação dos símbolos:
  • \,a_{k}\, é o coeficiente complexo correspondente ao harmônico inteiro k.
  • \,T\, é o período do sinal.
  • \,t_0 é um ponto qualquer; escolhemos convenientemente t_0=0 e integramos sobre um período.
  • \,\omega_{0}\, é a frequência angular fundamental (dada).
  • \,j\, é a unidade imaginária ( j^{2}=-1).
    Esta fórmula representa a “projeção” de x(t) sobre a exponencial e^{j k \omega_0 t}. Em prova, memorize essa expressão: para obter a_k integramos o produto x(t)e^{-j k \omega_0 t} sobre um período e dividimos por T.

Passo 3

Calculamos o período \,T a partir de \,\omega_{0}=\pi:
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Então a janela de integração pode ser tomada como [0,2]. Como x(t)=1{,}5 em [0,1) e 0 em [1,2), a integral sobre um período reduz-se à integral em [0,1].

Passo 4

Tratamos primeiro o caso k=0 (coeficiente DC). Pela fórmula:
a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x(t)\,dt.
Como x(t)=1{,}5 em [0,1) e 0 em [1,2),
\int_{0}^{2} x(t)\,dt=\int_{0}^{1}1{,}5\,dt + \int_{1}^{2}0\,dt = 1{,}5\cdot 1 = 1{,}5.
Logo
a_{0}=\frac{1}{2}\cdot 1{,}5 = 0{,}75 = \frac{3}{4}.
Comentário didático: a_{0} é simplesmente a média do sinal em um período. Aqui a média é \frac{3}{4}.

Passo 5

Agora calculamos a_{k} para k\neq 0. Usamos a fórmula com T=2 e reduzimos a integral a [0,1]:
a_{k}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x(t)\,e^{-j k \pi t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} 1{,}5\,e^{-j k \pi t}\,dt,
pois x(t)=0 em [1,2). Retirando constantes:
a_{k}=\frac{1{,}5}{2}\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt = \frac{3}{4}\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt.
Agora calculamos a integral (para k\neq 0):
\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt =\left[\frac{e^{-j k \pi t}}{-j k \pi}\right]_{0}^{1} =\frac{e^{-j k \pi}-1}{-j k \pi} =\frac{1-e^{-j k \pi}}{j k \pi}.
Substituindo:
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-e^{-j k \pi}}{j k \pi}.

Passo 6

Agora simplificamos essa expressão usando a identidade de Euler:
1-e^{-j k \pi}=e^{-j k \pi/2}\big(e^{j k \pi/2}-e^{-j k \pi/2}\big) = e^{-j k \pi/2}\cdot 2j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right).
Substituindo na expressão de a_{k}:
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{e^{-j k \pi/2}\cdot 2j\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{j k \pi}.
Os fatores j cancelam e \frac{3}{4}\cdot 2 = \frac{3}{2}, portanto, para k\neq 0:
a_{k}=e^{-j k \pi/2}\,\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k\pi}.
Comentário prático: essa forma é útil para ver que quando k é inteiro par a \sin zera e o coeficiente some; quando k é ímpar o coeficiente tem magnitude \propto 1/|k| e fase -k\pi/2.

Resposta

a_{k}= \begin{cases}\dfrac{3}{4}, & k=0 \\[8pt] e^{-j k \pi / 2}\dfrac{3}{2}\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{k \pi}{2}\right)}{k \pi}, & k\neq 0\end{cases}]

Exercícios relacionados