Use a Equação de análise de série de Fourier para calcular os coeficientes
com frequência fundamental (\omega_{0}=\pi].
Resp:
Resp:
Passo 1
O enunciado pede para calcular os coeficientes
e foi dada a frequência fundamental
(da forma dada).
A tarefa: calcular todos os coeficientes (para
) usando a equação de análise da série de Fourier.]
A tarefa: calcular todos os coeficientes
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar (equação de análise da série de Fourier exponencial) e explico cada termo:
Explicação dos símbolos:
-
é o coeficiente complexo correspondente ao harmônico inteiro . -
é o período do sinal. -
é um ponto qualquer; escolhemos convenientemente e integramos sobre um período. -
é a frequência angular fundamental (dada). -
é a unidade imaginária ( ).
Esta fórmula representa a “projeção” desobre a exponencial . Em prova, memorize essa expressão: para obter integramos o produto sobre um período e dividimos por .
Passo 3
Calculamos o período
a partir de
:
Então a janela de integração pode ser tomada como
. Como
em
e
em
, a integral sobre um período reduz-se à integral em
.
Passo 4
Tratamos primeiro o caso
(coeficiente DC). Pela fórmula:
Como
em
e
em
,
Logo
Comentário didático:
é simplesmente a média do sinal em um período. Aqui a média é
.
Passo 5
Agora calculamos
para
. Usamos a fórmula com
e reduzimos a integral a
:
pois
em
. Retirando constantes:
Agora calculamos a integral (para
):
Substituindo:
Passo 6
Agora simplificamos essa expressão usando a identidade de Euler:
Substituindo na expressão de
:
Os fatores
cancelam e
, portanto, para
:
Comentário prático: essa forma é útil para ver que quando
é inteiro par a
zera e o coeficiente some; quando
é ímpar o coeficiente tem magnitude
e fase
.