Para o sinal periódico de tempo contínuo
x(t)=2+\cos \left(\frac{2 \pi t}{3}\right)+4 \sin \left(\frac{5 \pi t}{3}\right)
determine a frequência fundamental \omega_{0} e os coeficientes da série de Fourier a_{k}, tais que
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{j k \omega_{0} t}
\operatorname{Resp}: \omega_{0}=\frac{\pi}{3}, \quad a_{0}=2, a_{2}=a_{-2}=0.5, a_{5}=a_{-5}^{*}=-2 j

Passo 1

O enunciado dá o sinal periódico de tempo contínuo
x(t)=2+\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+4\sin\left(\frac{5\pi t}{3}\right)
e pede dois itens: (1) determinar a frequência fundamental \omega_{0} e (2) determinar os coeficientes da série de Fourier complexa a_{k} tal que
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} e^{j k \omega_{0} t}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{constante: }2,\qquad \text{termo cosseno: }\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right),\qquad \text{termo seno: }4\sin\left(\frac{5\pi t}{3}\right).

Passo 2

Identificar as frequências angulares dos termos não-constantes. Vou escrever cada frequência angular explicitamente:
\omega_1=\frac{2\pi}{3},\qquad \omega_2=\frac{5\pi}{3}.
A frequência fundamental \omega_{0} deve ser um número positivo tal que cada \omega_i seja um múltiplo inteiro de \omega_{0}. Ou seja, existem inteiros k_1,k_2 com
\omega_1=k_1\omega_0,\qquad \omega_2=k_2\omega_0.
Devemos escolher o maior \omega_{0} que satisfaz isso (o “maior divisor comum” das frequências angulares).

Passo 3

Expressar \omega_1 e \omega_2 como múltiplos de um candidato \omega_0. Observe que ambas as frequências são múltiplos de \frac{\pi}{3}:
\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\pi}{3},\qquad \frac{5\pi}{3}=5\cdot\frac{\pi}{3}.
Portanto \omega_{0}=\frac{\pi}{3} é um candidato válido: com ele temos k_1=2 e k_2=5. Não existe um divisor maior (positivo) que divida simultaneamente 2 e 5 por inteiros, então
\omega_{0}=\frac{\pi}{3}.
Isso significa que os harmônicos relevantes são os índices k inteiros, e os termos dados correspondem aos harmônicos k=0,\,\pm2,\,\pm5.

Passo 4

Recordando as fórmulas de Euler (aulas rápidas):
\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2},\qquad \sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.
Aqui \theta é o argumento que depende de t. Essas fórmulas nos permitem escrever senos e cossenos como combinação linear de exponenciais complexas, e daí ler os coeficientes a_{k}.

Passo 5

Converter o termo cosseno em exponenciais e identificar coeficientes. Usando \omega_{0}=\frac{\pi}{3} e \omega_1=2\omega_0,
\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)=\cos\left(2\omega_0 t\right)=\frac{e^{j2\omega_0 t}+e^{-j2\omega_0 t}}{2}.
Logo, da contribuição desse termo obtemos
a_{2}=\frac{1}{2},\qquad a_{-2}=\frac{1}{2}.
(As demais contribuições desse termo para outros k são zero.)

Passo 6

Converter o termo seno em exponenciais e identificar coeficientes. Usando \omega_2=5\omega_0,
4\sin\left(\frac{5\pi t}{3}\right)=4\sin\left(5\omega_0 t\right) =4\cdot\frac{e^{j5\omega_0 t}-e^{-j5\omega_0 t}}{2j}.
Fazendo a simplificação passo a passo:
4\cdot\frac{1}{2j}= \frac{4}{2j}=\frac{2}{j}=2(-j)=-2j.
Portanto
4\sin\left(5\omega_0 t\right)=-2j\,e^{j5\omega_0 t}+2j\,e^{-j5\omega_0 t}.
Daí os coeficientes são
a_{5}=-2j,\qquad a_{-5}=2j.
Note que a_{-5}=a_{5}^{*}, como esperado para um sinal real.

Passo 7

Tratar o termo constante e concluir sobre os restantes. O termo constante 2 corresponde ao harmônico k=0, então
a_{0}=2.
Todos os outros coeficientes a_{k} para k\notin\{0,\pm2,\pm5\} são zero, pois não há outros harmônicos presentes no sinal dado. Além disso, como x(t) é real, vale a simetria conjugada a_{-k}=a_{k}^{*}, o que é consistente com os valores encontrados.

Resposta

\omega_{0}=\dfrac{\pi}{3}
a_{0}=2
a_{2}=a_{-2}=\dfrac{1}{2}
a_{5}=-2j
a_{-5}=2j
a_{k}=0 para os demais k

Exercícios relacionados