Para o sinal periódico de tempo contínuo
determine a frequência fundamental
e os coeficientes da série de Fourier
, tais que
Passo 1
O enunciado dá o sinal periódico de tempo contínuo
e pede dois itens: (1) determinar a frequência fundamental
e (2) determinar os coeficientes da série de Fourier complexa
tal que
Informações relevantes dadas no enunciado:
Passo 2
Identificar as frequências angulares dos termos não-constantes. Vou escrever cada frequência angular explicitamente:
A frequência fundamental
deve ser um número positivo tal que cada
seja um múltiplo inteiro de
. Ou seja, existem inteiros
com
Devemos escolher o maior
que satisfaz isso (o “maior divisor comum” das frequências angulares).
Passo 3
Expressar
e
como múltiplos de um candidato
. Observe que ambas as frequências são múltiplos de
:
Portanto
é um candidato válido: com ele temos
e
. Não existe um divisor maior (positivo) que divida simultaneamente
e
por inteiros, então
Isso significa que os harmônicos relevantes são os índices
inteiros, e os termos dados correspondem aos harmônicos
.
Passo 4
Recordando as fórmulas de Euler (aulas rápidas):
Aqui
é o argumento que depende de
. Essas fórmulas nos permitem escrever senos e cossenos como combinação linear de exponenciais complexas, e daí ler os coeficientes
.
Passo 5
Converter o termo cosseno em exponenciais e identificar coeficientes. Usando
e
,
Logo, da contribuição desse termo obtemos
(As demais contribuições desse termo para outros
são zero.)
Passo 6
Converter o termo seno em exponenciais e identificar coeficientes. Usando
,
Fazendo a simplificação passo a passo:
Portanto
Daí os coeficientes são
Note que
, como esperado para um sinal real.
Passo 7
Tratar o termo constante e concluir sobre os restantes. O termo constante
corresponde ao harmônico
, então
Todos os outros coeficientes
para
são zero, pois não há outros harmônicos presentes no sinal dado. Além disso, como
é real, vale a simetria conjugada
, o que é consistente com os valores encontrados.