Use evidência numérica para fazer uma conjectura sobre o limite da sequência e, então, use o Teorema do Confronto para Sequências (Teorema 9.1.5) para confirmar se sua conjectura está correta.
36. \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1+n}{2 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado considera a sequência
a_n = \Bigl(\frac{n+1}{2n}\Bigr)^{n}
e pede para, a partir de evidência numérica, conjecturar o valor de \lim_{n\to+\infty}a_n e depois confirmar essa conjectura usando o Teorema do Confronto para Sequências (Teorema 9.1.5). Vamos primeiro experimentar valores de a_n, depois reescrever a expressão em termos de (1+1/n)^n e usar um limite conhecido para concluir por esmagamento.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos numericamente:
a_1 = \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^1 = 1,\quad a_2 = \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2 = \frac{9}{16}\approx0,5625,
a_5 = \Bigl(\frac{6}{10}\Bigr)^5 = \Bigl(\tfrac35\Bigr)^5\approx0,0778,\quad a_{10} = \Bigl(\frac{11}{20}\Bigr)^{10}\approx0,000026.
Observamos que a_n decresce rapidamente e parece tendender a 0. Conjectura:
\lim_{n\to+\infty}a_n = 0.

Passo 3

Reescrevemos
a_n = \Bigl(\frac{n+1}{2n}\Bigr)^{n} = \frac{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}}{2^{n}}.
É conhecido que para todo n\ge1 vale
\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n} < e < 3.
Logo
0 < a_n = \frac{\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}}{2^{n}} < \frac{3}{2^{n}}.

Passo 4

Definimos as sequências
b_n = 0, \quad c_n = \frac{3}{2^{n}}.
Temos para todo n suficientemente grande
b_n \;\le\; a_n \;\le\; c_n,
e como
\lim_{n\to+\infty}b_n = 0, \quad \lim_{n\to+\infty}c_n = \lim_{n\to+\infty}\frac{3}{2^{n}} = 0,
o Teorema do Confronto garante que
\lim_{n\to+\infty}a_n = 0.

Resposta

0

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