Use evidência numérica para fazer uma conjectura sobre o limite da sequência e, então, use o Teorema do Confronto para Sequências (Teorema 9.1.5) para confirmar se sua conjectura está correta.
35. \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} n}{n}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin^2(n)}{n}
O conteúdo principal é o Teorema do Confronto para sequências (Teorema 9.1.5), que afirma que se a_n\le b_n\le c_n para todo n a partir de certo ponto e \lim a_n=\lim c_n=L, então \lim b_n=L. Para aplicar isso, vamos primeiro fazer uma conjectura com base em evidência numérica.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos da sequência \displaystyle a_n=\frac{\sin^2(n)}{n}: \displaystyle a_1=\frac{\sin^2(1)}{1}\approx0{,}708 \displaystyle a_{10}=\frac{\sin^2(10)}{10}\approx\frac{0{,}296}{10}=0{,}0296 \displaystyle a_{50}=\frac{\sin^2(50)}{50}\approx\frac{0{,}0676}{50}=0{,}00135 \displaystyle a_{100}=\frac{\sin^2(100)}{100}\approx\frac{0{,}256}{100}=0{,}00256 \displaystyle a_{1000}\approx\frac{\sin^2(1000)}{1000}\le\frac{1}{1000}=0{,}001
Vemos que, à medida que n cresce, os termos a_n ficam cada vez menores, sugerindo que o limite seja 0.

Passo 3

Para provar rigorosamente, note que para todo n vale
0 \;\le\;\sin^2(n)\;\le\;1.
Dividindo por n>0 obtemos
0 \;\le\;\frac{\sin^2(n)}{n}\;\le\;\frac{1}{n}.
Como sabemos que
\lim_{n\to+\infty}\;0 = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0,
pelas hipóteses do Teorema do Confronto (Teorema 9.1.5) segue
\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin^2(n)}{n}=0.

Resposta

0

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