Use o exercício anterior para achar d y / d x.
y=\left(3 x^{2}+x\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(3x^{2}+x\right)^{3}
e pede para achar a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a expressão é uma potência com expoente 3 aplicada a uma expressão em x (aqui 3x^{2}+x). A gente precisa fornecer \dfrac{dy}{dx} em termos de x.

Passo 2

Antes de mexer na conta: qual método usar? A função é uma composição de uma função interna u(x)=3x^{2}+x com a função externa v(u)=u^{3}. O caminho mais direto é usar a regra da cadeia (chain rule): quando temos y=v(u(x)), a derivada é
\frac{dy}{dx}=v'(u(x))\cdot u'(x).
Vou usar essa regra porque evita expandir (3x^{2}+x)^{3}, o que geraria muitos termos e trabalho desnecessário na prova. Explicar a regra: a ideia é que uma pequena variação em x provoca uma variação em u e essa por sua vez provoca variação em y; a taxa total é o produto das taxas parciais.

Passo 3

Aplicando a ideia da Passo 2, definimos explicitamente a função interna e externa:
u(x)=3x^{2}+x, \qquad y=u^{3}.
Aqui u depende de x. Nosso objetivo será calcular u'(x) e v'(u) onde v(u)=u^{3}.

Passo 4

Calcular u'(x). Derivamos termo a termo (regra básica: \dfrac{d}{dx}[ax^{n}]=a n x^{n-1} e \dfrac{d}{dx}[x]=1):
u(x)=3x^{2}+x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=3\cdot 2x^{1}+1=6x+1.
Expliquei: para 3x^{2} multiplicamos 3 pelo expoente 2 e subtraímos 1 do expoente, ficando 6x; para x a derivada é 1.

Passo 5

Calcular v'(u) para v(u)=u^{3}. Usamos a regra da potência: para \dfrac{d}{du}[u^{n}]=n u^{n-1}. Aqui n=3, então
v'(u)=3u^{2}.
Lembrete do significado: v'(u) é a derivada da função externa em relação à sua variável u; depois substituímos u=u(x).

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{dy}{dx}=v'(u(x))\cdot u'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot(6x+1).
Substituindo u(x)=3x^{2}+x, obtemos
\frac{dy}{dx}=3\big(3x^{2}+x\big)^{2}(6x+1).

Passo 7

Podemos simplificar um pouco o fator numérico multiplicando 3 por (6x+1) se quisermos uma forma mais compacta:
3(6x+1)=18x+3,
logo uma forma simplificada é
\frac{dy}{dx}=(18x+3)\big(3x^{2}+x\big)^{2}.
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do estilo que a prova prefere.

Passo 8

Verificação rápida (sem expandir tudo): note que \,3x^{2}+x=x(3x+1), então
y=\big(x(3x+1)\big)^{3}=x^{3}(3x+1)^{3}.
Derivando por produto e regra da cadeia também daria o mesmo resultado, então a resposta está consistente.

Resposta

\frac{dy}{dx}=3\big(3x^{2}+x\big)^{2}(6x+1)

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