Use o exercício anterior para achar
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar a derivada
.
Informações relevantes: a expressão é uma potência com expoente aplicada a uma expressão em
(aqui
). A gente precisa fornecer
em termos de
.
Informações relevantes: a expressão é uma potência com expoente
Passo 2
Antes de mexer na conta: qual método usar? A função é uma composição de uma função interna
com a função externa
. O caminho mais direto é usar a regra da cadeia (chain rule): quando temos
, a derivada é
Vou usar essa regra porque evita expandir
, o que geraria muitos termos e trabalho desnecessário na prova. Explicar a regra: a ideia é que uma pequena variação em
provoca uma variação em
e essa por sua vez provoca variação em
; a taxa total é o produto das taxas parciais.
Passo 3
Aplicando a ideia da Passo 2, definimos explicitamente a função interna e externa:
Aqui
depende de
. Nosso objetivo será calcular
e
onde
.
Passo 4
Calcular
. Derivamos termo a termo (regra básica:
e
):
Expliquei: para
multiplicamos
pelo expoente
e subtraímos
do expoente, ficando
; para
a derivada é
.
Passo 5
Calcular
para
. Usamos a regra da potência: para
. Aqui
, então
Lembrete do significado:
é a derivada da função externa em relação à sua variável
; depois substituímos
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados:
Substituindo
, obtemos
Passo 7
Podemos simplificar um pouco o fator numérico multiplicando
por
se quisermos uma forma mais compacta:
logo uma forma simplificada é
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do estilo que a prova prefere.
Passo 8
Verificação rápida (sem expandir tudo): note que
, então
Derivando por produto e regra da cadeia também daria o mesmo resultado, então a resposta está consistente.