Use o exercício anterior para determinar a equação do plano tangente no ponto (1,3,2) à superfície definida implicitamente pela equação
F(x, y, z)=z^3+(x+y) z^2+x^2+y^2=34

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente em (1,3,2) à superfície definida implicitamente por
F(x,y,z)=z^3+(x+y),z^2+x^2+y^2=34
O conteúdo envolvido é o uso do gradiente de F para achar a normal à superfície e, com isso, formular o plano tangente.

Passo 2

Sabemos que, se a superfície é dada por F(x,y,z)=constante, então o vetor normal ao plano tangente em (x0,y0,z0) é
nabla F(x0,y0,z0) = l(tfracpartial Fpartial x,;tfracpartial Fpartial y,;tfracpartial Fpartial zr)l|(x0,y0,z0)
E a equação do plano tangente fica
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de F:
tfracpartial Fpartial x = partialpartial xl(z^3+(x+y)z^2+x^2+y^2r) = z^2 + 2x,
tfracpartial Fpartial y = z^2 + 2y,
tfracpartial Fpartial z = 3z^2 + 2(x+y),z

Passo 4

Agora avaliamos em (x0,y0,z0)=(1,3,2). Como z0^2=4 e x0+y0=4, obtemos
tfracpartial Fpartial x(1,3,2) = 4 + 2cdot1 = 6,
tfracpartial Fpartial y(1,3,2) = 4 + 2cdot3 = 10,
tfracpartial Fpartial z(1,3,2) = 3cdot4 + 2cdot4cdot2 = 12 + 16 = 28
Logo
nabla F(1,3,2) = (6,,10,,28).

Passo 5

A equação do plano tangente é
6,(x-1) ;+;10,(y-3);+;28,(z-2)=0
Podemos expandir e simplificar:
6x - 6 + 10y - 30 + 28z - 56 = 0 Longrightarrow 6x+10y+28z - 92 = 0
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
3x + 5y + 14z - 46 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x + 5y + 14z - 46 = 0

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