Determine wx y z e wy x x para w=xy+2 z.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem
wx y z=partial^3 wpartial z partial y partial x
e
wy x x=partial^3 wpartial x^2 partial y
para a função
w(x,y,z)=xy+2z
Vamos aplicar regras de derivada parcial (produto/quociente e cadeia) de forma sistemática.

Passo 2

Calcular primeiro ,wx e depois ,wxy.
Como
w(x,y,z)=x,(y+2z)^-1,
usamos derivada em x tratando y,z como constantes:
wx=partialpartial xl[x,(y+2z)^-1r]=(y+2z)^-1
Agora derivamos em y:
wxy=partialpartial yl[(y+2z)^-1r] =-1,(y+2z)^-2,partialpartial y(y+2z) =-,(y+2z)^-2

Passo 3

Calcular ,wxyz=partialz(wxy).
Tendo
,wxy=-(y+2z)^-2,
aplicamos regra da cadeia em z:
wxyz =partialpartial zl[-(y+2z)^-2r] =-l(-2r)(y+2z)^-3,partialpartial z(y+2z) =4,(y+2z)^-3

Passo 4

Calcular ,wyxx. Podemos derivar em y e depois duas vezes em x, ou vice-versa. Vamos em y primeiro:
wy =partialpartial yl[x,(y+2z)^-1r] =xl(-1r)(y+2z)^-2 =-x(y+2z)^2
Agora derivamos duas vezes em x:
wyx =partialpartial xl[-(y+2z)^-2xr] =-(y+2z)^-2, wyxx =partialpartial xl[-(y+2z)^-2r] =0

Resposta

wxyz=4(y+2z)^3, wyxx=0

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