Use o exercício anterior para mostrar que 3+\sqrt{2} é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 3 + \sqrt{2} é irracional. Do exercício anterior sabemos que \sqrt{2}$ é irracional. Vamos usar a ideia de prova por absurdo e a propriedade de que a diferença de dois números racionais é racional.éçúé

Passo 2

Suponha, por absurdo, que 3 + \sqrt{2} seja racional. Então existe um número racional r tal que
r = 3 + \sqrt{2}.
Como 3 é racional, a diferença
r - 3 = \sqrt{2}
também seria racional (diferença de dois números racionais). Mas isso contradiz o fato de que \sqrt{2} é irracional. Logo a hipótese de que 3 + \sqrt{2} é racional está errada.

Resposta

Portanto, 3 + \sqrt{2} é irracional.

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