Para detectar os sintomas de determinada doença, uma pesquisa científica entrevistou 8000 pessoas. Os sintomas analisados foram: febre, tosse seca e cansaço. A tabela abaixo apresenta os números obtidos pelos pesquisadores:
Sintomas \mathrm{n}^{o} de pessoas
Febre 2970
Tosse seca 2200
Cansaço 3030
Somente febre e tosse seca 550
Somente febre e cansaço 810
Somente tosse seca e cansaço 320
Todos os sintomas 240
Com base nessas informações, responda as seguinte questões:
Quantas pessoas não tiveram sintomas?

Passo 1

O enunciado dá uma pesquisa com 8000 pessoas, medindo três sintomas: febre F, tosse seca T e cansaço C. Temos:
\begin{aligned} |F|&=2970, &|T|&=2200, &|C|&=3030,\\\ |\text{somente }F\cap T|&=550, &|\text{somente }F\cap C|&=810, &|\text{somente }T\cap C|&=320,\\\ |F\cap T\cap C|&=240. \end{aligned}
Queremos saber quantas pessoas não tiveram nenhum sintoma, ou seja, o complemento de F\cup T\cup C.

Passo 2

Para aplicar o princípio da inclusão-exclusão precisamos de |F\cap T|, |F\cap C| e |T\cap C|. Note que
|F\cap T| = 550 + 240 = 790,\quad |F\cap C| = 810 + 240 = 1050,\quad |T\cap C| = 320 + 240 = 560.

Passo 3

Pela fórmula da união de três conjuntos:
|F\cup T\cup C| = |F|+|T|+|C| - \bigl(|F\cap T|+|F\cap C|+|T\cap C|\bigr) + |F\cap T\cap C|.
Substituindo:
|F\cup T\cup C| = 2970 + 2200 + 3030 - (790 + 1050 + 560) + 240 = 8200 - 2400 + 240 = 6040.

Passo 4

Como 8000 é o total de entrevistados, o número que não apresentou nenhum sintoma é
8000 - |F\cup T\cup C| = 8000 - 6040 = 1960.

Resposta

1960 pessoas não tiveram sintomas.

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