Use a expansão em série de Fourier da função f(x)=x^2 em(-pi, pi) de periodicidade 2 pi, para deduzir que

Passo 1

Temos a função f(x)=x² definida em (-π,π) e estendida periodicamente de período 2π; o conteúdo é série de Fourier de funções pares, e vamos precisar computar os coeficientes a₀ e aₙ para escrever f(x) em termos de cossenos.

Passo 2

Como f é par, bₙ=0. Calculamos a₀ por
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx=2piintegral0^pix^2,dx=2picdotpi^33=2pi^23,
posso escrever o termo constante como a₀/2=π²/3.

Passo 3

Calculamos aₙ por
an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx=2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Aplicando integração por partes duas vezes, obtém-se
an=4(-1)^nn^2

Passo 4

Assim, a série de Fourier fica
x^2=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Passo 5

Avaliamo em x=π:
pi^2=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(npi)=pi^23+4sumn=1^infty1n^2,
pois cos(nπ)=(-1)^n. Logo
sumn=1^infty1n^2=pi^2-pi^2/34=pi^26

Passo 6

Avaliamo em x=0:
0=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2,
do que
sumn=1^infty(-1)^nn^2=-pi^212
Mudando sinal do expoente, temos
sumn=1^infty(-1)^n-1n^2=pi^212

Passo 7

Para a soma sobre índices ímpares, escrevemos
sumk=0^infty1(2k+1)^2=sumn=1^infty1n^2-sumk=1^infty1(2k)^2=pi^26-14cdotpi^26=pi^28

Resposta

As três somas são:
sumn=1^infty1n^2=pi^26,sumn=1^infty(-1)^n-1n^2=pi^212,sumk=0^infty1(2k+1)^2=pi^28

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