Use a expansão em série de Fourier da função
de periodicidade
, para deduzir que
Passo 1
Temos a função f(x)=x² definida em (-π,π) e estendida periodicamente de período 2π; o conteúdo é série de Fourier de funções pares, e vamos precisar computar os coeficientes a₀ e aₙ para escrever f(x) em termos de cossenos.
Passo 2
Como f é par, bₙ=0. Calculamos a₀ por
posso escrever o termo constante como a₀/2=π²/3.
Passo 3
Calculamos aₙ por
Aplicando integração por partes duas vezes, obtém-se
Passo 4
Assim, a série de Fourier fica
Passo 5
Avaliamo em x=π:
pois cos(nπ)=(-1)^n. Logo
Passo 6
Avaliamo em x=0:
do que
Mudando sinal do expoente, temos
Passo 7
Para a soma sobre índices ímpares, escrevemos
Resposta
As três somas são: