Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral-1^1(t^3-t^2+1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que é integral-1^1(t^3-t^2+1) dt. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras básicas de integração para cada termo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo da função separadamente. A ideia é encontrar a antiderivada (ou primitiva) de cada termo dentro da integral. Vamos lembrar que a integral de t^n em relação a t é t^n+1n+1, desde que n neq -1.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra a cada termo da função:
  1. Para t^3:
    integral t^3 dt = t^44
  2. Para -t^2:
    integral -t^2 dt = -t^33
  3. Para 1:
    integral 1 dt = t
Então, a antiderivada completa da função é:
F(t) = t^44 - t^33 + t

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar essa função nos limites de integração, ou seja, de -1 a 1. Isso significa que vamos calcular F(1) - F(-1).
Primeiro, calculamos F(1):
F(1) = 1^44 - 1^33 + 1 = 14 - 13 + 1
Para facilitar, vamos converter tudo para frações com o denominador comum 12:
F(1) = 312 - 412 + 1212 = 1112
Agora, calculamos F(-1):
F(-1) = (-1)^44 - (-1)^33 + (-1) = 14 + 13 - 1
Convertendo para denominador 12:
F(-1) = 312 + 412 - 1212 = -512

Resposta

Subtraindo F(-1) de F(1):
F(1) - F(-1) = 1112 - (-512) = 1612 = 43
Portanto, o valor da integral é 43.

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