Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
interpretando-a em termos de áreas. Isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função
e o eixo
, entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente a área de triângulos e trapezoides, já que a função
é uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função
. Essa é uma reta com inclinação
e intercepto em
. Quando
,
. Quando
,
. Então, a reta cruza o eixo
quando
:
Isso significa que entre
e
, a função está acima do eixo
, e entre
e
, está abaixo.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo das áreas:
- De
a , onde . - De
a , onde .
Vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente e depois somá-las, lembrando que a área abaixo do eixo
será negativa.
Passo 4
Primeira Parte:
a
Aqui, a função forma um triângulo com a base indo de
a
(comprimento de
unidades) e a altura até
.
A área do triângulo é dada por:
Passo 5
Segunda Parte:
a
Nesta parte, a função está abaixo do eixo
, formando um triângulo com a base de
unidade (de
a
) e a altura até
.
A área desse triângulo é:
Como está abaixo do eixo
, consideramos essa área como negativa:
Passo 6
Agora, vamos somar as duas áreas:
Resposta
A integral
interpretada em termos de áreas é igual a
.