Use a fórmula da adição para cosseno e as identidades
\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\operatorname{sen} \theta \quad \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta

Passo 1

O objetivo é obter a fórmula da soma para seno, ou seja, mostrar que
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
usando a fórmula de adição para cosseno e as identidades
\cos\Bigl(\tfrac\pi2-\theta\Bigr)=\sin\theta,\quad \sin\Bigl(\tfrac\pi2-\theta\Bigr)=\cos\theta.

Passo 2

Lembramos a fórmula de adição para cosseno:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v.

Passo 3

Reescrevemos \sin(\alpha+\beta) como cosseno de um complemento:
\sin(\alpha+\beta) =\cos\Bigl(\tfrac\pi2-(\alpha+\beta)\Bigr).

Passo 4

Note que
\tfrac\pi2-(\alpha+\beta) =\Bigl(\tfrac\pi2-\alpha\Bigr)-\beta,
então
\sin(\alpha+\beta) =\cos\bigl((\tfrac\pi2-\alpha)-\beta\bigr).

Passo 5

Aplicamos a fórmula de diferença para cosseno, que se obtém de \cos(u+v) trocando v por -\beta:
\cos(X - Y)=\cos X\cos Y + \sin X\sin Y.
Com X=\tfrac\pi2-\alpha e Y=\beta, vem
\sin(\alpha+\beta) =\cos\bigl(\tfrac\pi2-\alpha\bigr)\cos\beta +\sin\bigl(\tfrac\pi2-\alpha\bigr)\sin\beta.

Passo 6

Usamos as identidades de cofuncionais:
\cos\bigl(\tfrac\pi2-\alpha\bigr)=\sin\alpha, \quad \sin\bigl(\tfrac\pi2-\alpha\bigr)=\cos\alpha.
Substituindo, obtemos
\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.

Resposta

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.

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