(a) Use a fórmula de redução do exercício 2 para calcular

$\int \cos ^{2} x d x$

Passo 1

O enunciado pede calcular

\int \cos^{2}x\,dx

utilizando a fórmula de redução vista no exercício 2. O conteúdo é a redução de potências de cosseno, e vamos precisar da fórmula geral para

\displaystyle \int\cos^{n}x\,dx

.

Passo 2

A fórmula de redução para

n\ge2

é

\int \cos^{n}x\,dx = \frac{1}{n}\,\cos^{n-1}x\;\sin x \;+\;\frac{n-1}{n}\,\int \cos^{n-2}x\,dx.

Passo 3

Aplicando essa fórmula com

n=2

, temos

\int \cos^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\,\cos^{1}x\;\sin x + \frac{2-1}{2}\,\int \cos^{0}x\,dx.

Passo 4

Como

\cos^{1}x=\cos x

e

\cos^{0}x=1

, obtemos

\int \cos^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\,\cos x\;\sin x + \frac{1}{2}\,\int 1\,dx = \frac{1}{2}\,\cos x\;\sin x + \frac{1}{2}\,x + C.

Resposta

\int \cos^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\,\sin x\;\cos x + \frac{1}{2}\,x + C.

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