Use a parte (a) do exercício 6 para mostrar que, para as potências ímpares de seno,

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n+1} x d x=\frac{2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \cdots \times 2 n}{3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times(2 n+1)}$

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro

n\ge0

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}x\,dx =\frac{2\times4\times6\times\cdots\times2n}{3\times5\times7\times\cdots\times(2n+1)}.

O conteúdo usado é a fórmula de redução obtida na parte (a) do exercício 6, que diz:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{m}x\,dx =\frac{m-1}{m}\, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{m-2}x\,dx,

válida para

m>1

Defina

I_{k}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{k}x\,dx.

Aplicando a fórmula de redução com

m=2n+1

, vem

I_{2n+1} =\frac{(2n+1)-1}{2n+1}\,I_{2n-1} =\frac{2n}{2n+1}\,I_{2n-1}.

Repetindo recursivamente a redução para

I_{2n-1},I_{2n-3},\dots,I_{1}

, obtemos

I_{2n+1} =\frac{2n}{2n+1}\,\frac{2n-2}{2n-1}\,\frac{2n-4}{2n-3}\,\cdots\, \frac{2}{3}\;I_{1}.

Calculamos

I_{1}

I_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =1.

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I_{2n+1} =\frac{2}{3}\,\frac{4}{5}\,\frac{6}{7}\,\cdots\,\frac{2n}{2n+1}.

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}x\,dx =\frac{2\times4\times6\times\cdots\times2n}{3\times5\times7\times\cdots\times(2n+1)}.

Use a parte (a) do exercício 6 para mostrar que, para as potências ímpares de seno, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n+1} x d x=\frac{2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \cdots \times 2 n}{3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times(2 n+1)}