Use a fórmula da substituição para calcular as integrais.
\int_{\ln \frac{\pi}{6}}^{\ln \frac{\pi}{2}} 2 e^{v} \cos \left(e^{v}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int_{\ln\frac{\pi}{6}}^{\ln\frac{\pi}{2}} 2 e^{v}\cos\!\bigl(e^{v}\bigr)\,dv usando o método de substituição. Vamos aproveitar que aparece e^{v} e sua derivada natural.

Passo 2

Definimos a substituição
u = e^{v}.
Diferenciando, obtemos
du = e^{v}\,dv \quad\Longrightarrow\quad e^{v}\,dv = du \quad\Longrightarrow\quad 2e^{v}\,dv = 2\,du.

Passo 3

Mudamos também os limites de integração:
quando v = \ln\frac{\pi}{6},
u = e^{\ln\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6},
e quando v = \ln\frac{\pi}{2},
u = e^{\ln\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}.
Assim a integral fica
\int_{u=\frac{\pi}{6}}^{u=\frac{\pi}{2}} 2\cos(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos:
\int 2\cos(u)\,du = 2\sin(u).
Aplicando os limites,
2\sin(u)\Big|_{u=\frac{\pi}{6}}^{u=\frac{\pi}{2}} =2\Bigl(\sin\!\tfrac{\pi}{2}-\sin\!\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =2\Bigl(1-\tfrac12\Bigr) =1.

Resposta

1

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