Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas \mathrm{y}=\mathrm{xe} \mathrm{x}=2, a curva \mathrm{y}=1 / \mathrm{x}^{2} e o eixo x .

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x, x=2, pela curva y=1/x^{2} e pelo eixo x. Vamos usar integração em x, dividindo a região em dois subintervalos pois a fronteira superior muda no ponto em que y=x intercepta y=1/x^{2}.

Passo 2

Encontramos o ponto de interseção resolvendo
x = \frac{1}{x^{2}}
que leva a
x^{3}=1
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x=1\quad\text{e}\quad y=1.
Assim, para 0\le x\le1 a fronteira superior é y=x e para 1\le x\le2 é y=1/x^{2}.

Passo 3

Para 0\le x\le1, a área sob y=x sobre o eixo x é
A_{1}=\int_{0}^{1}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Para 1\le x\le2, a área sob y=1/x^{2} sobre o eixo x é
A_{2}=\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} =-\frac{1}{2}-\bigl(-1\bigr) =\frac{1}{2}.

Passo 5

A área total é a soma
A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.

Resposta

A área da região é 1.

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