Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
X^prime=(cc3 & -5 34 & -1) X+binom1-1 e^t / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não-homogêneo X'=A X + f(t) usando variação de parâmetros, onde
A = 3 & -5[4pt]tfrac34 & -1 e f(t)= 1[4pt]-1e^t/2. Vamos precisar da solução geral da parte homogênea (matriz fundamental) e depois aplicar a fórmula de variação de constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea X'=A X encontramos o polinômio característico
det(A-lambda I)=lambda^2-2lambda+tfrac34=0
com raízes lambda1=3/2 e lambda2=1/2. Os autovetores são dados por
para lambda1=3/2: v^(1)=(10,3)^T,
para lambda2=1/2: v^(2)=(2,1)^T.
Isso nos dá a matriz fundamental

Passo 3

Montamos
Phi(t)=l[v^(1)e^3t2,;v^(2)e^t2r] =10e^3t/2 & 2e^t/2[4pt]3e^3t/2 & e^t/2
Em seguida calculamos Phi^-1(s)f(s). Com detPhi(s)=4e^2s e a adjunta, obtemos
Phi^-1(s)f(s)=14e^2se^s/2&-2e^s/2[4pt]-3e^3s/2&10e^3s/2e^s/2[4pt]-e^s/2 =34e^-s[4pt]-134

Passo 4

Pela fórmula de variação de parâmetros as funções u1,u2 satisfazem
u'(s)=34e^-s[4pt]-134
Integramos (desprezando constantes que vão para a parte homogênea):
u1(s)=-tfrac34e^-s, nu2(s)=-tfrac134s
Aí a solução particular é Xp(t)=Phi(t)nu(t).

Passo 5

Multiplicando
Xp(t)= 10e^3t/2&2e^t/2[4pt]3e^3t/2&e^t/2 -tfrac34e^-t[4pt]-tfrac134t =-e^t/2430+26t[4pt]9+13t
Por fim a solução geral é a soma da homogênea com esta particular.

Resposta

X(t)=c110e^3t/2[4pt]3e^3t/2+c22e^t/2[4pt]e^t/2-e^t/2430+26t[4pt]9+13t, c1,c2in R

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