Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não-homogêneo
usando variação de parâmetros, onde
A =
e f(t)=
. Vamos precisar da solução geral da parte homogênea (matriz fundamental) e depois aplicar a fórmula de variação de constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea
encontramos o polinômio característico
com raízes
e
. Os autovetores são dados por
para :
,
para :
.
Isso nos dá a matriz fundamental
para
para
Isso nos dá a matriz fundamental
Passo 3
Montamos
Em seguida calculamos
. Com
e a adjunta, obtemos
Passo 4
Pela fórmula de variação de parâmetros as funções
satisfazem
Integramos (desprezando constantes que vão para a parte homogênea):
Aí a solução particular é
.
Passo 5
Multiplicando
Por fim a solução geral é a soma da homogênea com esta particular.