Use identidades trigonométricas e (se necessário) uma substituição " para integrar a funçăo.
\int \frac{1}{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx
usando identidades trigonométricas e, se necessário, substituição. Vamos aproveitar que o produto (\operatorname{sec} x+\tan x)(\operatorname{sec} x-\tan x) simplifica.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela expressão conjugada \operatorname{sec} x-\tan x, assim
\frac{1}{\operatorname{sec} x+\tan x} =\frac{\operatorname{sec} x-\tan x}{(\operatorname{sec} x+\tan x)(\operatorname{sec} x-\tan x)}.
No denominador usamos a identidade \operatorname{sec}^2 x-\tan^2 x=1.

Passo 3

Com isso o integrando vira
\frac{\operatorname{sec} x-\tan x}{1} =\operatorname{sec} x-\tan x.
Logo
\int \frac{1}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx =\int(\operatorname{sec} x-\tan x)\,dx.

Passo 4

Separamos a integral em duas:
\int\operatorname{sec} x\,dx \;-\;\int\tan x\,dx.
Sabemos que
\int\operatorname{sec} x\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C_1,
\int\tan x\,dx =-\ln\bigl|\cos x\bigr|+C_2.

Passo 5

Substituindo,
\int(\operatorname{sec} x-\tan x)\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| \;+\;\ln\bigl|\cos x\bigr| \;+\;C.
Como \ln|A|+\ln|B|=\ln|AB|, fica
\ln\bigl|(\operatorname{sec} x+\tan x)\cos x\bigr| +\;C =\ln\bigl|1+\sin x\bigr|+C,
pois (\operatorname{sec} x+\tan x)\cos x=1+\sin x.

Resposta

\boxed{\ln\bigl|1+\sin x\bigr|+C}

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