Use identidades trigonométricas e (se necessário) uma substituição " para integrar a funçăo.
\int\left(\operatorname{cotg}^{2} x+1\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(\cot^2 x + 1\bigr)\,dx
usando identidades trigonométricas (e substituição, se for o caso). Aqui vamos reconhecer uma identidade fundamental do triângulo e depois integrar uma função trigonométrica simples.

Passo 2

Lembramos da identidade trigonométrica
1 + \cot^2 x = \csc^2 x.
Ela é consequência da identidade \sin^2 x + \cos^2 x = 1, dividida por \sin^2 x.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int\bigl(\cot^2 x + 1\bigr)\,dx = \int \csc^2 x \,dx.

Passo 4

Para integrar \csc^2 x, usamos que
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\,\csc^2 x.
Isso implica
\csc^2 x = -\frac{d}{dx}(\cot x),
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\int \csc^2 x \,dx = -\,\cot x + C.

Resposta

-\,\cot x + C

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