Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{3} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3} e^{2x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é x^{3} e^{2x}, a variável de integração é x e o resultado deve incluir a constante de integração C. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula diz que, para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos e du é sua diferencial, isto é, du = u'(x)\,dx.
  • dv é a outra parte do integrando (multiplicada por dx) e v é uma primitiva de dv, isto é, v = \int dv.
    Explicando de forma prática: escolhemos u de modo que sua derivada du seja mais simples, e escolhemos dv que seja fácil de integrar para obter v. Uma regra prática (útil na prova) é escolher u como a parte polinomial quando o outro fator é exponencial, seno, cosseno ou logaritmo.

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação:
u = x^{3},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Calcule du e v:
du = 3x^{2}\,dx,
v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}
(lembrando que \int e^{ax}\,dx = \tfrac{1}{a}e^{ax} para a\neq 0).

Passo 4

Aplique a fórmula de partes:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = uv - \int v\,du = x^{3}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 3x^{2}\,dx.
Simplificando constantes:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{2}\int x^{2} e^{2x}\,dx.
Agora precisamos calcular \int x^{2} e^{2x}\,dx. Repetimos integração por partes porque ainda temos um polinômio multiplicando uma exponencial.

Passo 5

Para \int x^{2} e^{2x}\,dx escolha:
u = x^{2},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando partes:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.

Passo 6

Agora calcule \int x e^{2x}\,dx. Escolha:
u = x,\qquad dv = e^{2x}\,dx,
então
du = dx,\qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando partes:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx.
E \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}, logo
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 7

Substitua o resultado de \int x e^{2x}\,dx na expressão de \int x^{2} e^{2x}\,dx:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right).
Simplificando parênteses:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}.
Podemos escrever isso como
\int x^{2} e^{2x}\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\right).

Passo 8

Volte à expressão obtida no Passo 4:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{2}\int x^{2} e^{2x}\,dx.
Substituindo \int x^{2} e^{2x}\,dx do Passo 7:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}\right).
Distribuindo -\frac{3}{2}:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{4}x^{2}e^{2x} + \frac{3}{4}x e^{2x} - \frac{3}{8}e^{2x}.

Passo 9

Fatorando e^{2x} para deixar o resultado mais organizado:
\int x^{3} e^{2x}\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8}\right) + C

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