Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
, a variável de integração é
e o resultado deve incluir a constante de integração
. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula diz que, para funções
e
,
Aqui:
-
é uma função que escolhemos e é sua diferencial, isto é, . -
é a outra parte do integrando (multiplicada por ) e é uma primitiva de , isto é, .
Explicando de forma prática: escolhemosde modo que sua derivada seja mais simples, e escolhemos que seja fácil de integrar para obter . Uma regra prática (útil na prova) é escolher como a parte polinomial quando o outro fator é exponencial, seno, cosseno ou logaritmo.
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação:
Calcule
e
:
(lembrando que
para
).
Passo 4
Aplique a fórmula de partes:
Simplificando constantes:
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes porque ainda temos um polinômio multiplicando uma exponencial.
Passo 5
Para
escolha:
Então
Aplicando partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora calcule
. Escolha:
então
Aplicando partes:
E
, logo
Passo 7
Substitua o resultado de
na expressão de
:
Simplificando parênteses:
Podemos escrever isso como
Passo 8
Volte à expressão obtida no Passo 4:
Substituindo
do Passo 7:
Distribuindo
:
Passo 9
Fatorando
para deixar o resultado mais organizado:
onde
é a constante de integração.