Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{2} e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{3x}\,dx.
Informações dadas/relevantes:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio \,x^{2}\, por uma exponencial \,e^{3x}\,.
  • Queremos uma antiderivada (integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração C.
  • Não há outras condições ou figuras no enunciado.

Passo 2

Vamos usar o método de integração por partes. Antes de aplicar, preciso explicar e justificar essa técnica de forma simples e prática.
Fórmula de integração por partes: partimos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
Integramos ambos os lados e isolamos o termo que interessa, obtendo a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicação dos símbolos:
  • u é uma função que escolhemos para ser diferenciada (vai gerar du).
  • dv é o restante da integral, que vamos integrar para obter v (ou seja, v=\int dv).
  • du é a diferencial de u (ou seja, du=u'\,dx).
Dica prática para escolher u e dv: é comum escolher u como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio) e dv como a parte que é fácil de integrar (por exemplo uma exponencial). Aqui temos exatamente um polinômio vezes exponencial, então escolhemos u como o polinômio.

Passo 3

Escolha para a primeira integração por partes:
u = x^{2},\qquad dv = e^{3x}\,dx.
Calcule du e v:
du = 2x\,dx,
v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x},
porque a derivada de e^{3x} é 3e^{3x}, então ao integrar dividimos por 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du com as escolhas acima:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator fora da integral:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2}e^{3x} - \frac{2}{3}\int x e^{3x}\,dx.
Agora restou reduzir a integral \int x e^{3x}\,dx, que faremos por partes novamente.

Passo 5

Segunda integração por partes para \int x e^{3x}\,dx. Escolha
u = x,\qquad dv = e^{3x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
Integrando o termo restante:
\int x e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.
(Não precisamos fixar a constante agora; usaremos uma única constante final.)

Passo 6

Substituímos o resultado da segunda parte na expressão obtida no Passo 4:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2}e^{3x} - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right) + C.
Distribuindo o -\frac{2}{3}:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2}e^{3x} - \frac{2}{9}x e^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C.

Passo 7

Podemos fatorar e^{3x} para uma forma mais compacta e/ou colocar tudo sobre denominador comum:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = e^{3x}\left(\frac{1}{3}x^{2} - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}\right) + C.
Colocando sobre o denominador comum 27:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{27}\left(9x^{2} - 6x + 2\right) + C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{3x}}{27}(9x^{2}-6x+2)\right)=e^{3x}x^{2},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{e^{3x}}{27}\left(9x^{2}-6x+2\right)+C

Exercícios relacionados