Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas/relevantes:
- A função a integrar é o produto de um polinômio
por uma exponencial . - Queremos uma antiderivada (integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração
. - Não há outras condições ou figuras no enunciado.
Passo 2
Vamos usar o método de integração por partes. Antes de aplicar, preciso explicar e justificar essa técnica de forma simples e prática.
Fórmula de integração por partes: partimos da regra do produto para derivadas:
Integramos ambos os lados e isolamos o termo que interessa, obtendo a fórmula
Explicação dos símbolos:
-
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (vai gerar ). -
é o restante da integral, que vamos integrar para obter (ou seja, ). -
é a diferencial de (ou seja, ).
Dica prática para escolher
e
: é comum escolher
como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio) e
como a parte que é fácil de integrar (por exemplo uma exponencial). Aqui temos exatamente um polinômio vezes exponencial, então escolhemos
como o polinômio.
Passo 3
Escolha para a primeira integração por partes:
Calcule
e
:
porque a derivada de
é
, então ao integrar dividimos por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula
com as escolhas acima:
Simplificando o fator fora da integral:
Agora restou reduzir a integral
, que faremos por partes novamente.
Passo 5
Segunda integração por partes para
. Escolha
Então
Aplicando a fórmula:
Integrando o termo restante:
(Não precisamos fixar a constante agora; usaremos uma única constante final.)
Passo 6
Substituímos o resultado da segunda parte na expressão obtida no Passo 4:
Distribuindo o
:
Passo 7
Podemos fatorar
para uma forma mais compacta e/ou colocar tudo sobre denominador comum:
Colocando sobre o denominador comum
:
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.