Use integração por partes para resolver as integrais: integral arcsin (x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arcsin (x-2) , dx usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. Para isso, vamos precisar escolher quais partes vão ser u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u e dv. Nesse caso, uma boa escolha é deixar u = arcsin(x-2) porque sua derivada é mais simples, e dv = dx porque é fácil de integrar.
Então temos:
u = arcsin(x-2) Rightarrow du = 1raiz1 - (x-2)^2 , dx
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arcsin(x-2) , dx = x cdot arcsin(x-2) - integral x cdot 1raiz1 - (x-2)^2 , dx

Passo 4

Precisamos agora resolver a nova integral integral xraiz1 - (x-2)^2 , dx. Para simplificar, vamos fazer uma substituição:
t = x - 2 Rightarrow dt = dx e x = t + 2
Substituindo na integral:
integral t + 2raiz1 - t^2 , dt = integral traiz1 - t^2 , dt + 2 integral 1raiz1 - t^2 , dt

Passo 5

Resolvendo as duas integrais separadamente:
integral traiz1 - t^2 , dt = -raiz1 - t^2 + C
2 integral 1raiz1 - t^2 , dt = 2 arcsin(t) + C
Juntando tudo:
-raiz1 - t^2 + 2 arcsin(t) + C
Substituindo de volta t = x - 2:
-raiz1 - (x-2)^2 + 2 arcsin(x-2) + C

Passo 6

Voltando à expressão inicial da integração por partes:
integral arcsin(x-2) , dx = x cdot arcsin(x-2) - ( -raiz1 - (x-2)^2 + 2 arcsin(x-2) ) + C
Simplificando:
integral arcsin(x-2) , dx = (x - 2) arcsin(x-2) + raiz1 - (x-2)^2 + C

Resposta

A integral integral arcsin (x-2) , dx é igual a:
(x - 2) arcsin(x-2) + raiz1 - (x-2)^2 + C
onde C é a constante de integração.

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