Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral arctan ^2(x) d x1+x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Precisamos resolver a integral
integral arctan^2(x)1+x^2 , dx
Usaremos o método de substituição de variável, que é uma técnica para simplificar integrais complexas. Para isso, vamos identificar qual parte da integral escolher como nossa nova variável.

Passo 2

Observamos que temos elevado ao quadrado na integral. Isso sugere que podemos escolher como nossa substituição, porque a derivada de está presente no denominador.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 11+x^2 em relação a du = dx1+x^2 para encontrar . Sabemos que:
Então, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral arctan^2(x)1+x^2 , dx = integral u^2 , du e na integral original. Substituindo, temos:
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, integramos integral u^2 , du = u^33 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^33 + C = (arctan(x))^33 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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