Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular a área das regiões indicadas.
A região interior a curva r=4 \cos \theta
Passo 1
O enunciado pede calcular a área da região interior à curva r=4\cos\theta. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A curva em coordenadas polares é r=4\cos\theta.
Quer-se a área da região limitada por essa curva (a região interior).
Vou usar integrais duplas em coordenadas polares para calcular essa área. Nada mais é pedido.
Passo 2
Entendendo a curva e os limites em (r,\theta):
Em coordenadas polares valem as relações x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
A curva r=4\cos\theta tem pontos com r\ge 0 somente quando \cos\theta\ge 0. Então \theta varia onde \cos\theta\ge 0, isto é\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].(Para \theta fora desse intervalo teríamos r<0, que não descreve a região interior de forma direta.)
Para cada \theta nesse intervalo, r vai de 0 até a curva, ou seja 0\le r\le 4\cos\theta.
Lembrete importante (jacobiano): ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. Vou explicar por que: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Por isso aparece o fator r na integral.
Passo 3
Montando a integral dupla para a área A:
A área é a integral dupla da função 1 sobre a região R:A=\iint_{R} dA.
Em coordenadas polares isso vira a integral iterada com o jacobiano:A=\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{4\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Esta é a expressão que vamos calcular passo a passo.
Passo 4
Calcule a integral interna em r:
A integral interna é\int_{r=0}^{4\cos\theta} r\,dr.
Integrando r em relação a r obtemos \dfrac{1}{2}r^{2}. Avaliando nos limites:\int_{0}^{4\cos\theta} r\,dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{4\cos\theta} = \frac{1}{2}\big(4\cos\theta\big)^{2} = \frac{1}{2}\cdot16\cos^{2}\theta = 8\cos^{2}\theta.
Assim a área reduz-se à integral em \theta:A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 8\cos^{2}\theta\,d\theta.
Passo 5
Simplificar o integrando usando identidade trigonométrica:
Use a identidade \cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Explicando: é uma forma padrão de escrever o quadrado do cosseno em função do cosseno de 2\theta, útil para integrar facilmente.
Integre termo a termo:\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4\,d\theta = 4\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 4\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=4\pi.
Para o segundo termo,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4\cos(2\theta)\,d\theta = 4\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\big(\sin(\pi)-\sin(-\pi)\big)=2(0-0)=0,porque \sin(\pi)=\sin(-\pi)=0.
Somando as partes:A = 4\pi + 0 = 4\pi.
Passo 7
Verificação geométrica (intuição e checagem):
Podemos transformar a equação polar em cartesiana para reconhecer a figura:r=4\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r=\frac{4x}{r}\\ \text{(pois }x=r\cos\theta\text{)} \Rightarrow r^{2}=4x.
Como r^{2}=x^{2}+y^{2}, obtemosx^{2}+y^{2}=4x \quad\Rightarrow\quad (x-2)^{2}+y^{2}=4.
Essa é a equação de um círculo de centro (2,0) e raio 2. A área de um círculo de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi, que coincide com o resultado obtido pela integral — ótima confirmação.
Comentário motivador: isso mostra que tanto a conta com integrais duplas quanto a interpretação geométrica dão o mesmo resultado. Boa!