1. A autonomia de um drone de entrega é dada pela função A(m)=50-\frac{1}{2} m^{2} quilômetros, onde m é a massa em quilogramas que ele carrega. Analise como a autonomia do drone com um pacote de 4 kg é afetada por pequenas variações na massa que ele carrega.
    (a) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para 5 kg (ou seja, h=1 ).
    (b) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para 4,1 \mathrm{~kg} (ou seja, h=0,1 ).
    (c) Determine a taxa de variação instantânea da autonomia para uma massa de 4 kg , calculando o limite:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{A(4+h)-A(4)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função de autonomia em quilômetros em função da massa em quilogramas:
A(m)=50-\tfrac{1}{2}m^{2},
e pede três coisas sobre a massa base m=4 kg:
  • (a) a taxa média de variação de A quando a massa passa de 4 kg para 5 kg (ou seja, h=1);
  • (b) a taxa média de variação de A quando a massa passa de 4 kg para 4,1 kg (ou seja, h=0,1);
  • (c) a taxa de variação instantânea em m=4 kg, dada pelo limite
\lim_{h\to 0}\frac{A(4+h)-A(4)}{h}.
Anotações úteis que usarei: a taxa média de variação entre m e m+h é \dfrac{A(m+h)-A(m)}{h}. A unidade dessa taxa será \text{km/kg} (quilômetros por quilograma), porque é variação de autonomia dividida por variação de massa.

Passo 2

Explicando o conceito (rápido e amigo): a taxa média de variação \dfrac{A(4+h)-A(4)}{h} é a inclinação da reta que liga os pontos (4,A(4)) e (4+h,A(4+h)). Ela diz, em média, quantos quilômetros de autonomia mudam se a massa muda 1 kg (ou 0,1 kg, etc.). Para o limite quando h\to0 a interpretação é a taxa instantânea — a variação por unidade de massa num ponto específico, também chamada de derivada em m=4.

Passo 3

Calculo primeiro os valores de A nos pontos que vou precisar. Começo por m=4:
A(4)=50-\tfrac{1}{2}\cdot 4^{2}=50-\tfrac{1}{2}\cdot 16=50-8=42.

Passo 4

Agora calculo A(5) para a parte (a):
A(5)=50-\tfrac{1}{2}\cdot 5^{2}=50-\tfrac{1}{2}\cdot 25=50-12,5=37,5.

Passo 5

Faço a taxa média para h=1 (parte (a)):
\frac{A(5)-A(4)}{1}=\frac{37,5-42}{1}= -4,5.
Interpretação: a autonomia diminui, em média, 4,5\\ \text{km} para cada 1\\ \text{kg} adicional no intervalo de 4 a 5 kg. Unidade: \text{km/kg}.

Passo 6

Para a parte (b) preciso de A(4,1) (ou seja, A(4{,}1)). Calculo passo a passo:
(4{,}1)^{2}=16,81,
\tfrac{1}{2}\cdot(4{,}1)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 16,81=8,405,
A(4{,}1)=50-8,405=41,595.

Passo 7

Agora a taxa média para h=0{,}1 (parte (b)):
\frac{A(4{,}1)-A(4)}{0{,}1}=\frac{41,595-42}{0{,}1}=\frac{-0,405}{0{,}1}=-4,05.
Interpretação: na variação de 4 para 4{,}1 kg, a autonomia diminui em média 4,05\\ \text{km} por quilograma (ou seja, cada aumento de 1\\ \text{kg} nesta vizinhança reduziria cerca de 4,05\\ \text{km}).

Passo 8

Agora a parte (c): calcular o limite que dá a taxa instantânea em m=4. Faço a manipulação algébrica do quociente de diferença:
\frac{A(4+h)-A(4)}{h} =\frac{\bigl(50-\tfrac{1}{2}(4+h)^{2}\bigr)-\bigl(50-\tfrac{1}{2}\cdot 4^{2}\bigr)}{h}.
Corto os 50s e simplifico:
\frac{A(4+h)-A(4)}{h} =\frac{-\tfrac{1}{2}\bigl((4+h)^{2}-4^{2}\bigr)}{h}.
Expando (4+h)^{2}:
(4+h)^{2}=16+8h+h^{2},
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(4+h)^{2}-4^{2}=8h+h^{2}=h(8+h).
Substituindo:
\frac{A(4+h)-A(4)}{h}=\frac{-\tfrac{1}{2}\cdot h(8+h)}{h}=-\tfrac{1}{2}(8+h)=-4-\tfrac{h}{2}.
Tomando o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}\left(-4-\tfrac{h}{2}\right)=-4.
Portanto a taxa de variação instantânea em m=4 é -4\\ \text{km/kg}.

Passo 9

Verificação rápida por uma regra conhecida (opcional, mas útil na prova): derivando diretamente A(m)=50-\tfrac{1}{2}m^{2} pela regra da potência obtém-se
A'(m)=0-\tfrac{1}{2}\cdot 2m=-m,
então A'(4)=-4, que coincide com o resultado do limite. Interpretação final: próximo de 4 kg, cada aumento infinitesimal de 1\\ \text{kg} reduz a autonomia em cerca de 4\\ \text{km}. Força aí — com esse procedimento você faz qualquer questão parecida rápido na prova!

Resposta

(a)\\\ -4,5\\ \text{km/kg}
(b)\\\ -4,05\\ \text{km/kg}
\text{(c)}\\\ -4\\ \text{km/kg}

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