- A autonomia de um drone de entrega é dada pela função
quilômetros, onde
é a massa em quilogramas que ele carrega. Analise como a autonomia do drone com um pacote de 4 kg é afetada por pequenas variações na massa que ele carrega.
(a) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para 5 kg (ou seja,
).
(b) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para
(ou seja,
).
(c) Determine a taxa de variação instantânea da autonomia para uma massa de 4 kg , calculando o limite:
(a) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para 5 kg (ou seja,
(b) Calcule a taxa média de variação da autonomia quando a massa varia de 4 kg para
(c) Determine a taxa de variação instantânea da autonomia para uma massa de 4 kg , calculando o limite:
Passo 1
O enunciado dá a função de autonomia em quilômetros em função da massa em quilogramas:
e pede três coisas sobre a massa base
kg:
- (a) a taxa média de variação de
quando a massa passa de kg para kg (ou seja, ); - (b) a taxa média de variação de
quando a massa passa de kg para kg (ou seja, ); - (c) a taxa de variação instantânea em
kg, dada pelo limite
Anotações úteis que usarei: a taxa média de variação entre
e
é
. A unidade dessa taxa será
(quilômetros por quilograma), porque é variação de autonomia dividida por variação de massa.
Passo 2
Explicando o conceito (rápido e amigo): a taxa média de variação
é a inclinação da reta que liga os pontos
e
. Ela diz, em média, quantos quilômetros de autonomia mudam se a massa muda 1 kg (ou
kg, etc.). Para o limite quando
a interpretação é a taxa instantânea — a variação por unidade de massa num ponto específico, também chamada de derivada em
.
Passo 3
Calculo primeiro os valores de
nos pontos que vou precisar. Começo por
:
Passo 4
Agora calculo
para a parte (a):
Passo 5
Faço a taxa média para
(parte (a)):
Interpretação: a autonomia diminui, em média,
para cada
adicional no intervalo de
a
kg. Unidade:
.
Passo 6
Para a parte (b) preciso de
(ou seja,
). Calculo passo a passo:
Passo 7
Agora a taxa média para
(parte (b)):
Interpretação: na variação de
para
kg, a autonomia diminui em média
por quilograma (ou seja, cada aumento de
nesta vizinhança reduziria cerca de
).
Passo 8
Agora a parte (c): calcular o limite que dá a taxa instantânea em
. Faço a manipulação algébrica do quociente de diferença:
Corto os
s e simplifico:
Expando
:
logo
Substituindo:
Tomando o limite quando
:
Portanto a taxa de variação instantânea em
é
.
Passo 9
Verificação rápida por uma regra conhecida (opcional, mas útil na prova): derivando diretamente
pela regra da potência obtém-se
então
, que coincide com o resultado do limite. Interpretação final: próximo de
kg, cada aumento infinitesimal de
reduz a autonomia em cerca de
. Força aí — com esse procedimento você faz qualquer questão parecida rápido na prova!