Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro x^{2}+z^{2}=4 e pelos planos y=-1 e y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
S = \{(x,y,z)\mid x^{2}+z^{2}\le4,\;-1\le y\le 4 - z\}
que é limitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+z^{2}=4 e verticalmente pelos planos y=-1 e y+z=4.
O conteúdo aqui é integral tripla e uso de coordenadas cilíndricas (polar no plano x\!z).

Passo 2

Vamos descrever S integrando primeiro em y. Para um dado ponto (x,z) no disco
D = \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le4\},
a coordenada y varia de
y=-1 \quad\text{até}\quad y=4 - z.é
Logo o volume é
V = \iiint_{S}dV = \iint_{D}\Bigl(\int_{y=-1}^{\,4 - z} dy\Bigr)\,dx\,dz.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=-1}^{\,4 - z} dy = \bigl[\,y\bigr]_{-1}^{\,4 - z} = (4 - z) - (-1) = 5 - z.
Portanto
V = \iint_{D}(5 - z)\,dx\,dz.

Passo 4

Para avaliar isso, separamos
V = 5\iint_{D}dx\,dz \;-\;\iint_{D}z\,dx\,dz.
No disco simétrico em torno de z=0, tem-se
\iint_{D}z\,dx\,dz = 0
por ser função ímpar em z, e
\iint_{D}dx\,dz = \text{área}(D) = \pi\cdot2^{2} = 4\pi.á

Passo 5

Substituindo, obtemos
V = 5\cdot(4\pi)\;-\;0 = 20\pi.

Resposta

20\pi

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