7 - Use a lei de Gauss e a lei de Ampère em meios materiais para mostrar que, para materiais lineares e se não houver correntes de condução no material © Obtenha uma relação para as componentes normal e tangencial do vetor magnetização M na fronteira entre os dois meios.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você me passou. A questão pede para usarmos a Lei de Gauss e a Lei de Ampère em meios materiais. O objetivo é mostrar, para materiais que seguem uma relação linear e sem correntes de condução no material $ c $, como ficam as componentes normal e tangencial do vetor magnetização $ \mathbf{M} $ na fronteira entre dois meios diferentes. Basicamente, vamos explorar como a magnetização se comporta nas interfaces dos materiais usando essas leis fundamentais do eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss para o campo magnético. Ela nos diz que o fluxo do campo magnético $ \mathbf{B} $ através de uma superfície fechada é igual a zero:
Isso porque não existem monopólos magnéticos; os campos formam sempre linhas fechadas.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Lei de Ampère em meios materiais. Ela relaciona o campo magnético $ \mathbf{H} $ com as correntes livres $ \mathbf{J}_{livres} $ e a magnetização $ \mathbf{M} $:
No nosso caso, como não há correntes de condução no material $ c $, $ I_{livres} = 0 $.
Passo 4
Vamos considerar que os materiais são lineares, ou seja, a magnetização $ \mathbf{M} $ é proporcional ao campo $ \mathbf{H} $:
Onde $ \chi_m $ é a suscetibilidade magnética do material. Além disso, relacionamos $ \mathbf{B} $ e $ \mathbf{H} $ pela relação:
Passo 5
Na fronteira entre dois meios, devemos aplicar as condições de contorno para os campos magnéticos. Existe uma condição para a componente normal e outra para a componente tangencial do campo magnético.
Para a componente normal de $ \mathbf{B} $:
E para a componente tangencial de $ \mathbf{H} $:
Onde $ K_c $ é a densidade de corrente de condução na fronteira. Mas como não há correntes de condução no material $ c $, $ K_c = 0 $, então:
Passo 6
Vamos expressar $ \mathbf{B} $ e $ \mathbf{H} $ em termos de $ \mathbf{M} $ usando a relação $ \mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M}) $. Aplicando isso na condição para a componente normal:
Simplificando:
E para a componente tangencial:
Como $ \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} $, podemos substituir $ \mathbf{H} $ em termos de $ \mathbf{M} $:
Resposta
Assim, a relação para as componentes do vetor magnetização $ \mathbf{M} $ na fronteira entre os dois meios é:
Para a componente normal:
E para a componente tangencial:
Ou seja, as componentes normal de $ \mathbf{M} $ são contínuas na fronteira, e as componentes tangenciais estão relacionadas pelas suscetibilidades magnéticas dos respectivos materiais.