7 - Use a lei de Gauss e a lei de Ampère em meios materiais para mostrar que, para materiais lineares e se não houver correntes de condução no material (b) a componente tangencial nessa fronteira obedece a relação HT 2=HT 1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para usar a Lei de Gauss e a Lei de Ampère em meios materiais. O objetivo é mostrar que, para materiais lineares e sem correntes de condução no material (b), a componente tangencial do campo magnético $ \mathbf{H} $ na fronteira entre os materiais é contínua, ou seja, $ H_{T2} = H_{T1} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as leis de Maxwell aplicadas a materiais e como elas se comportam nas fronteiras entre diferentes meios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as leis de Gauss e de Ampère para campos magnéticos em meios materiais. A Lei de Gauss para o magnetismo nos diz que não existem monopólos magnéticos, ou seja:
nabla cdot B = 0
Já a Lei de Ampère, em meios materiais sem correntes de condução, é dada por:
nabla times H = Jf
Como não há correntes de condução no material (b), $ \mathbf{J}_f = 0 $, então:
Jf = 0

Passo 3

Agora, vamos considerar a fronteira entre os dois materiais. Para analisar o comportamento das componentes tangenciais do campo $ \mathbf{H} $ nessa fronteira, usamos a forma integral da Lei de Ampère. Vamos imaginar um pequeno laço de integração que cruza a fronteira, de forma que parte do laço esteja no material (a) e outra parte no material (b).
A integral de circunferência da Lei de Ampère é:
H
Como não há correntes livres e estamos considerando um estado estacionário (sem variação temporal), a integral fica igual a zero:
oint H cdot dl = Ilivre + dDdt

Passo 4

Dividindo o laço de integração em duas partes, uma em cada material, temos:
integrala H1 cdot dl + integralb H2 cdot dl = 0
Como o laço é muito pequeno e está perpendicular à fronteira, podemos considerar que as componentes tangenciais $ H_{T1} $ e $ H_{T2} $ são constantes ao longo de cada parte do laço. Além disso, o comprimento das partes no material (a) e (b) é igual e de tamanho $ \Delta l $. Assim:
HT1
(Nota: O sinal negativo aparece porque as direções das integrais são opostas em relação à fronteira.)

Passo 5

Simplificando a equação acima, vemos que:
HT1 De
Cancelando $ \Delta l $ dos dois lados:
De

Resposta

Portanto, mostramos que a componente tangencial do campo magnético $ \mathbf{H} $ é contínua na fronteira entre os materiais, ou seja, $ H_{T2} = H_{T1} $.

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