Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[5]{x^{3} y^{2}}}{4 x^{6}-15 y^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt[5]{x^3y^2}}{4x^6-15y^6}
não existe, usando limites ao longo de curvas. Vamos comparar o valor desse quociente quando nos aproximamos de (0,0) por duas curvas diferentes.

Passo 2

Aproximando por y=0. Nesse caso temos
\sqrt[5]{x^3y^2}=\sqrt[5]{x^3\cdot0^2}=0
e
4x^6-15y^6=4x^6-15\cdot0^6=4x^6\neq0\quad\text{para }x\neq0.
Logo, ao longo de y=0,
\frac{\sqrt[5]{x^3y^2}}{4x^6-15y^6} =\frac{0}{4x^6}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[5]{x^3\cdot0^2}}{4x^6}=0.

Passo 3

Aproximando por y=x. Então
\sqrt[5]{x^3y^2} =\sqrt[5]{x^3\cdot x^2} =\sqrt[5]{x^5} =x,
e
4x^6-15y^6 =4x^6-15x^6 =(4-15)x^6 =-11x^6.
Assim,
\frac{\sqrt[5]{x^3y^2}}{4x^6-15y^6} =\frac{x}{-11x^6} =-\frac{1}{11}\,x^{-5}.
Quando x\to0, x^{-5}\to+\infty, de modo que
-\frac{1}{11}\,x^{-5}\;\longrightarrow\;-\infty.

Resposta

Como ao longo de y=0 o quociente tende a 0 e ao longo de y=x tende a -\infty, o limite em (0,0) não existe.

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