Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[3]{x^{2} y}}{2 x^{2}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt[3]{x^2y}}{2x^2+4y^2}.
O conteúdo que vamos usar é o critério de “limites ao longo de curvas”: se existir limite, todas as curvas que levam a (0,0) devem dar o mesmo valor. Basta então encontrar duas curvas com resultados distintos.

Passo 2

Considere a curva y=0. Nesse caso temos
\sqrt[3]{x^2\cdot0}=0
e
2x^2+4\cdot0^2=2x^2.
Logo, ao longo de y=0:
f(x,0)=\frac{\sqrt[3]{x^2\cdot0}}{2x^2+4\cdot0^2} =\frac{0}{2x^2}=0.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}f(x,y)=0.

Passo 3

Agora siga pela reta y=x. Temos
\sqrt[3]{x^2\cdot x}=\sqrt[3]{x^3}=x
e
2x^2+4x^2=6x^2.
Assim
f(x,x) =\frac{\sqrt[3]{x^2\cdot x}}{2x^2+4x^2} =\frac{x}{6x^2} =\frac{1}{6x}.
Quando x\to0^+, \tfrac1{6x}\to+\infty. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=x}f(x,y)=+\infty.

Passo 4

Pelo passo 2 obtemos limite zero e pelo passo 3 obtemos +\infty. São valores diferentes, então não há limite único em (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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