Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[3]{x^{2} y}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{x+y}
e queremos mostrar que ele não existe usando limites ao longo de curvas. A ideia é verificar que, se o limite existisse, o valor ao longo de qualquer caminho até (0,0) seria o mesmo.

Passo 2

Escolhemos a curva y=0. Substituindo em f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}y}}{x+y} obtemos
f(x,0)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}\cdot 0}}{x+0}=\frac{0}{x}=0.
Logo
\lim_{x\to 0}f(x,0)=0.

Passo 3

Agora escolhemos a curva y=x. Substituindo em f
f(x,x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}\cdot x}}{x+x} =\frac{\sqrt[3]{x^{3}}}{2x} =\frac{x}{2x}=\frac12.
Logo
\lim_{x\to 0}f(x,x)=\tfrac12.

Passo 4

Como ao aproximar (x,y) de (0,0) pelas curvas y=0 e y=x obtemos limites diferentes ( 0 e \tfrac12), conclui-se que o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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