Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[7]{x^{3} y^{4}}}{x^{11}+2 y^{11}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{\sqrt[7]{x^3y^4}}{x^{11}+2y^{11}}
e pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe, testando limites ao longo de curvas diferentes.

Passo 2

Escolhendo o caminho y=0, temos
f(x,0)=\frac{\sqrt[7]{x^3\cdot0^4}}{x^{11}+2\cdot0^{11}}=0.
Logo
\displaystyle\lim_{x\to0}f(x,0)=0.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=x. Substituindo,
f(x,x)=\frac{\sqrt[7]{x^3\cdot x^4}}{x^{11}+2x^{11}} =\frac{x}{3x^{11}} =\frac{1}{3}\,x^{-10}.
Como x^{-10}\to+\infty quando x\to0 (pelo lado positivo),
\displaystyle\lim_{x\to0}f(x,x)=+\infty.

Passo 4

Vemos que pelo caminho y=0 o limite vale 0, enquanto pelo caminho y=x o valor diverge para +\infty. Como resultados diferentes em duas curvas, o limite em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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