Use a matriz P para mostrar que as matrizes A e A^{\prime} são semelhantes.
P=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 5\end{array}\right],
A=\left[\begin{array}{ll}6 & -3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right]
e \quad A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}1 & -9 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes A e A^{\prime} são semelhantes usando a matriz P. As matrizes fornecidas são:
P=\begin{bmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{bmatrix},\qquad A=\begin{bmatrix}6 & -3 \\[4pt] 2 & -2\end{bmatrix},\qquad A'=\begin{bmatrix}1 & -9 \\[4pt] -1 & 3\end{bmatrix}.
O que precisamos demonstrar é que existe uma matriz inversível (aqui a candidata é P) tal que
A' = P^{-1} A P.]

Passo 2

Vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq 0, então
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{bmatrix}.
Primeiro calculemos o determinante de P. Com a=2, b=-1, c=3, d=5:
\det(P)=2\cdot 5 - (-1)\cdot 3 = 10 + 3 = 13.
Como \det(P)=13\neq 0, P é inversível e podemos aplicar a fórmula acima para P^{-1}.]

Passo 3

Aplicando a fórmula da inversa para P:
P^{-1}=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}5 & 1 \\[4pt] -3 & 2\end{bmatrix}.
Aqui usei d=5, -b=1, -c=-3 e a=2 conforme a fórmula.]

Passo 4

Agora calculamos P^{-1}A. Para multiplicar matrizes, cada elemento (i,j) do produto é o produto escalar da linha i da primeira pela coluna j da segunda. Então:
P^{-1}A=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}5 & 1 \\[4pt] -3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}6 & -3 \\[4pt] 2 & -2\end{bmatrix}.
Calculemos elemento a elemento (antes de factorar 1/13):
  • elemento (1,1): 5\cdot 6 + 1\cdot 2 = 30 + 2 = 32,
  • elemento (1,2): 5\cdot(-3) + 1\cdot(-2) = -15 - 2 = -17,
  • elemento (2,1): (-3)\cdot 6 + 2\cdot 2 = -18 + 4 = -14,
  • elemento (2,2): (-3)\cdot(-3) + 2\cdot(-2) = 9 - 4 = 5.
    Portanto
P^{-1}A=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}32 & -17 \\[4pt] -14 & 5\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicamos (P^{-1}A) por P para obter P^{-1}AP:
P^{-1}AP=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}32 & -17 \\[4pt] -14 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{bmatrix}.
Calculemos os produtos internos (novamente antes de aplicar 1/13):
  • elemento (1,1): 32\cdot 2 + (-17)\cdot 3 = 64 - 51 = 13,
  • elemento (1,2): 32\cdot(-1) + (-17)\cdot 5 = -32 - 85 = -117,
  • elemento (2,1): (-14)\cdot 2 + 5\cdot 3 = -28 + 15 = -13,
  • elemento (2,2): (-14)\cdot(-1) + 5\cdot 5 = 14 + 25 = 39.
    Assim
P^{-1}AP=\frac{1}{13}\begin{bmatrix}13 & -117 \\[4pt] -13 & 39\end{bmatrix}.
Aplicando o fator 1/13 em cada entrada:
P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1 & -9 \\[4pt] -1 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 6

Comparando o resultado com a matriz fornecida A',
P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1 & -9 \\[4pt] -1 & 3\end{bmatrix}=A'.
Portanto a igualdade desejada está verificada. Como já mostramos que \det(P)\neq 0, P é invertível e a relação A'=P^{-1}AP prova que A e A' são semelhantes. Breve comentário didático: similaridade significa que A e A' representam a mesma transformação linear em bases diferentes; por isso compartilham propriedades como determinante e autovalores.]

Resposta

A'=P^{-1}AP

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