Use o mélodo de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-0.25\right) y=0, \quad x>0 ; \quad y_{1}(x)=x^{1 / 2} \operatorname{sen} x

Passo 1

Temos a equação
x^{2}y''+x\,y'+(x^{2}-0.25)\,y=0,\quad x>0,
e já nos deram uma solução y_{1}(x)=x^{\tfrac12}\sin x. Isso é uma forma da equação de Bessel de ordem \nu=\tfrac12. Nosso objetivo é usar redução de ordem para encontrar y_{2}.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão
y''+\frac{1}{x}\,y'+\Bigl(1-\frac{1/4}{x^{2}}\Bigr)y=0.
Aqui P(x)=1/x. A fórmula de redução de ordem diz que
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx =y_{1}(x)\int \frac{x^{-1}}{\bigl(x^{1/2}\sin x\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos o integrando:
\frac{x^{-1}}{(x^{1/2}\sin x)^{2}} =\frac{x^{-1}}{x\,\sin^{2}x} =\frac{1}{x^{2}\sin^{2}x}.
Logo
y_{2}(x)=x^{\tfrac12}\sin x\int \frac{1}{x^{2}\sin^{2}x}\,dx.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int x^{-2}\csc^{2}x\,dx note que, a menos de constantes,
\int \frac{1}{x^{2}\sin^{2}x}\,dx =-\frac{\cot x}{x}+C.
Logo
y_{2}(x)=x^{\tfrac12}\sin x\Bigl(-\frac{\cot x}{x}\Bigr) =-\,\frac{x^{\tfrac12}\sin x\cos x}{x\sin x} =-\,x^{-\tfrac12}\cos x.
Como podemos multiplicar por constante arbitrária, isto é equivalente a
y_{2}(x)=x^{\tfrac12}\cos x.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y_{2}(x)=x^{\tfrac12}\cos x.

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