Use o método do Problema 33 para encontrar uma segunda soluçāo independente da equação dada.
t y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 t^{3} y=0, \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
t\,y''-y'+4t^{3}y=0,\quad t>0
e fornece uma solução conhecida
y_{1}(t)=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr).
O conteúdo é redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=0.
Dividindo por t (já que t>0) obtemos
y''-\frac{1}{t}\,y'+4t^{2}\,y=0,
logo
p(t)=-\frac{1}{t}, \quad q(t)=4t^{2}.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, se y_{1} é uma solução, então
y_{2}(t) = y_{1}(t)\,\int \frac{\exp\bigl(-\!\int p(t)\,dt\bigr)}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculamos o fator
\exp\!\Bigl(-\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\int -\tfrac{1}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(\ln t\bigr) =t.

Passo 5

Então o integrando fica
\frac{t}{\sin^{2}(t^{2})}.
Fazemos u=t^{2}, de modo que du=2t\,dt e t\,dt=\tfrac{1}{2}du. Logo
\int\frac{t}{\sin^{2}(t^{2})}\,dt =\frac{1}{2}\int\frac{du}{\sin^{2}u} =\frac{1}{2}\bigl(-\cot u\bigr) =-\frac{1}{2}\cot\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 6

Substituindo na fórmula de y_{2}:
y_{2}(t) =\operatorname{sen}(t^{2}) \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cot(t^{2})\Bigr) =-\tfrac{1}{2}\cos(t^{2}).
Como só precisamos de qualquer constante não nula, escolhemos
y_{2}(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr),
que é claramente linearmente independente de \operatorname{sen}(t^{2}).

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2}(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr).

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