Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para cada uma das equações não homogêneas abaixo. (Não é necessário calcular as constantes!!!)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=e^{-2 x}.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação linear não homogênea
y'' + 2y' + 5y = e^{-2x},
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso precisamos do polinômio característico da parte homogênea e verificar se a raiz associada à força e^{-2x} já aparece ali.

Passo 2

O polinômio característico da equação homogênea é
r^2 + 2r + 5 = 0.
Suas raízes são r = -1 \pm 2i. Como r = -2 (vindo do termo e^{-2x}) não é condição de raiz desse polinômio, não há conflito de ressonância.

Passo 3

Pelo método dos coeficientes a determinar, adotamos a forma de ansatz
y_p(x) = A\,e^{-2x},
onde A é a constante a ser determinada (não é solicitado calcular A).

Resposta

y_p(x)=A\,e^{-2x}.

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