Use o método de eliminação de Gauss ou o de Gauss-Jordan (o que você preferir) para resolver os seguintes sistemas de equações lineares. Indique claramente cada operação efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.
\left\{\begin{array}{l}x+3 y+6 z=25 \\\\ 2 x+7 y+14 z=58 \\\\ 2 y+5 z=19\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 3y + 6z = 25,\\\\ 2x + 7y + 14z = 58,\\\\ 2y + 5z = 19 \end{cases}
por eliminação de Gauss. A ideia é montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para criar zeros abaixo dos pivôs (primeiro coeficiente não nulo de cada linha) e, em seguida, obter os valores de x,y,z por substituição reversa.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 6 & 25\\\\ 2 & 7 & 14 & 58\\\\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array}\right]

Passo 3

Queremos zerar o coeficiente de x na segunda linha. Aplicamos
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\,\mathrm{R}_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 6 & 25\\\\ 0 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array}\right]

Passo 4

O pivô da segunda linha é o 1 na coluna de y. Vamos eliminar os outros valores nessa coluna:
\begin{cases} \mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - 3\,\mathrm{R}_2,\\\ \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - 2\,\mathrm{R}_2. \end{cases}
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]

Passo 5

Agora o pivô da terceira linha é o 1 na coluna de z. Eliminamos o 2 de z na linha 2:
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\,\mathrm{R}_3,
chegando à forma reduzida
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].
Dessa matriz já lemos diretamente
x = 1,\quad y = 2,\quad z = 3.

Resposta

(x,y,z) = (1,2,3)

Exercícios relacionados