Determine o posto das seguintes matrizes.
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & 6 & 2 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & -5 \\\\ 3 & 1 & 2 & -3 \\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (posto = dimensão do espaço linha ou coluna) de três matrizes A e B de ordem 3\times3 e C de ordem 3\times4. Para resolver, vamos usar redução de linha e, no caso das matrizes quadradas, também o determinante para verificar se são inversíveis (posto máximo).

Passo 2

Matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como é 3\times3, calculamos seu determinante:
\det(A) =1\cdot(0\cdot(-1)-1\cdot1)-3\cdot(2\cdot(-1)-1\cdot0)+0 =-1-3\cdot(-2) =-1+6 =5\neq0.
Como \det(A)\neq0, a matriz é inversível e seu posto é \mathrm{rank}(A)=3.

Passo 3

Matriz B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\\\ -2 & 6 & 2\\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(B) =1\bigl(6\cdot1-2\cdot(-1)\bigr) -5\bigl((-2)\cdot1-2\cdot3\bigr) +3\bigl((-2)\cdot(-1)-6\cdot3\bigr) =8-5\cdot(-8)+3\cdot(-16) =8+40-48 =0.
Como \det(B)=0, o posto é menor que 3. Para ver se é 2, basta encontrar algum menor 2\times2 não nulo, por exemplo as duas primeiras linhas e colunas:
\det\begin{pmatrix}1 & 5\\\ -2 & 6\end{pmatrix} =1\cdot6-5\cdot(-2) =6+10 =16\neq0.
Logo \mathrm{rank}(B)=2.

Passo 4

Matriz C:
C=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -5\\\\ 3 & 1 & 2 & -3\\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}.
Fazemos eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -5\\\\ 3 & 1 & 2 & -3\\\\ -5 & -4 & -4 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -5\\\\ 0 & 7 & 2 & 12\\\\ 0 & -14 & -4 & -24 \end{pmatrix}
(de L_2\gets L_2-3L_1, L_3\gets L_3+5L_1), depois
L_3\gets L_3+2L_2 \;\Rightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -5\\\\ 0 & 7 & 2 & 12\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Sobram duas linhas não nulas, então \mathrm{rank}\text{(C)}=2.

Resposta

\mathrm{rank}(A)=3 \mathrm{rank}(B)=2 \mathrm{rank}\text{(C)}=2

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