• Use o método dos nós para encontrar a tensão V1 no nó central.
  • Circuito: Fonte de 10 \mathrm{~V}, \mathrm{R} 1=2 \mathrm{k} \Omega, Nó 1, \mathrm{R} 2=3 \mathrm{k} \Omega, Terra. \mathrm{R} 3=5 \mathrm{k} \Omega ligado do Nó 1 para o Terra.
  • Resposta: \mathrm{V} 1=4.35 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos nós para encontrar a tensão em um nó central chamado Nó 1, ou seja, determinar V_1 (tensão do Nó 1 em relação ao terra). Dados fornecidos:
\text{Fonte: }10\\ \mathrm{V}
R_1 = 2\\ \mathrm{k}\Omega
R_2 = 3\\ \mathrm{k}\Omega
R_3 = 5\\ \mathrm{k}\Omega
Conectividade (interpretação do circuito que vamos usar, a mais direta dada a descrição): a fonte de 10\\ \mathrm{V} está ligada a R_1; o outro terminal de R_1 é o Nó 1; do Nó 1 saem dois resistores para o terra: R_2 e R_3. Ou seja, R_2 e R_3 estão em paralelo entre o Nó 1 e o terra, e R_1 liga a fonte (10 V) ao Nó 1.

Passo 2

Breve aula sobre o método dos nós (do jeito mais prático e sem frescura):
  • O objetivo é escrever a Lei dos Nós (Kirchhoff Current Law, KCL) no Nó 1: a soma algébrica das correntes que saem/entram do nó é zero.
  • Para um resistor entre dois pontos com tensões V_a e V_b, a corrente que sai do ponto a em direção a b é dada por
I=\frac{V_a-V_b}{R}.
Aqui V_a e V_b são tensões absolutas (em relação ao terra) e R é a resistência entre os pontos.
  • Vamos tomar como positiva a corrente que sai do Nó 1. Então, para cada resistor que liga o Nó 1 a outro ponto, escrevemos a corrente usando a fórmula acima, em que V_a=V_1.
  • No caso de um resistor entre Nó 1 e a fonte de 10\\ \mathrm{V}, usaremos V_b=10\\ \mathrm{V}. Para resistores entre Nó 1 e terra, usamos V_b=0.

Passo 3

Escrever as correntes que saem do Nó 1 em função de V_1:
  • Corrente pelo resistor R_1 do Nó 1 em direção à fonte ( 10\\ \mathrm{V}) é
I_{R_1}=\frac{V_1-10}{R_1}.
  • Corrente pelo resistor R_2 do Nó 1 ao terra é
I_{R_2}=\frac{V_1-0}{R_2}=\frac{V_1}{R_2}.
  • Corrente pelo resistor R_3 do Nó 1 ao terra é
I_{R_3}=\frac{V_1-0}{R_3}=\frac{V_1}{R_3}.

Passo 4

Aplicar KCL no Nó 1 (soma das correntes saindo do nó = 0):
\frac{V_1-10}{R_1}+\frac{V_1}{R_2}+\frac{V_1}{R_3}=0.
Explicando: a primeira parcela é a corrente entre Nó 1 e a fonte; as outras duas são as correntes para o terra. Agora vamos substituir os valores de resistências (lembrando que 2\\ \mathrm{k}\Omega=2000\\ \Omega, etc.) e resolver para V_1.

Passo 5

Substituindo R_1=2000, R_2=3000, R_3=5000 na equação:
\frac{V_1-10}{2000}+\frac{V_1}{3000}+\frac{V_1}{5000}=0.
Multiplicamos a equação por 15000 (mínimo múltiplo de 2000,3000,5000) para eliminar denominadores:
15000\cdot\frac{V_1-10}{2000}+15000\cdot\frac{V_1}{3000}+15000\cdot\frac{V_1}{5000}=0.
Calcule cada termo: 15000/2000=7,5, 15000/3000=5, 15000/5000=3. Portanto:
7{,}5(V_1-10)+5V_1+3V_1=0.
Agora expandimos e somamos os termos em V_1:
7{,}5V_1-75+5V_1+3V_1=0.
(7{,}5+5+3)V_1-75=0.
15{,}5\,V_1-75=0.
Isolando V_1:
15{,}5\,V_1=75
V_1=\frac{75}{15{,}5}.
Podemos simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por 2 para ficar com inteiros:
V_1=\frac{150}{31}.
Esse é o valor exato em volts. Para converter para decimal prática (duas casas decimais) calculamos:
V_1\approx 4{,}84\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Pequena verificação física (cheia de bom-humor): com V_1 entre 0 e 10 V, a corrente flui da fonte para o nó e do nó para o terra pelos dois resistores em paralelo — faz sentido. Também é possível resolver com a regra do divisor de tensão usando a resistência equivalente de R_2 paralelo R_3; se fizer isso obterá a mesma fração \dfrac{150}{31}.

Resposta

V_1=\dfrac{150}{31}\\ \mathrm{V}\approx 4{,}84\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados