Use o método do Exemplo 1 para achar (a) 
  e 
 ; (b) 
 ; © a soma da série, se for convergente.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para encontrar algumas somas parciais e a soma geral de uma série infinita. A série que temos é:
Vamos precisar entender como somar termos dessa forma, provavelmente usando frações parciais para simplificar. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as somas parciais 
  e 
 . As somas parciais representam a soma dos primeiros termos da série.
Para 
 , temos apenas o primeiro termo (
 ):
Passo 3
Agora, vamos calcular 
 , que é a soma dos dois primeiros termos (
  e 
 ):
Para 
 :
Então,
Vamos somar essas frações:
Passo 4
Agora, vamos calcular 
 , que inclui o termo quando 
 :
Para 
 :
Assim,
Somando as frações:
Passo 5
Até aqui, encontramos:
Agora, vamos para a parte (b), encontrar uma expressão geral para 
 .
Passo 6
Para encontrar 
 , vamos primeiro simplificar o termo geral usando frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por 
 :
Isso nos dá:
Para que isso seja válido para todo 
 , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 
 .
Substituindo na segunda equação:
Então, 
 .
Portanto,
Passo 7
Agora, somamos os termos de 1 a 
 :
Isso se torna:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:
Passo 8
Então, temos a expressão geral para a soma parcial:
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte ©, encontrar a soma da série infinita, se ela for convergente.
Para isso, calculamos o limite de 
  quando 
  tende ao infinito:
Resposta
(a) 
 , 
 , 
(b)
© A soma da série é
(b)
© A soma da série é