Use o método do Exemplo 1 para achar (a) 
  e 
 ; (b) 
 ; © a soma da série, se for convergente.
 
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos usar para resolver. A gente tem uma série infinita dada por:
O enunciado pede para a gente encontrar:
(a) Os primeiros três termos da soma ( , 
  e 
 );
(b) Uma expressão geral para a soma ;
© A soma total da série, se ela convergir.
(a) Os primeiros três termos da soma (
(b) Uma expressão geral para a soma
© A soma total da série, se ela convergir.
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar frações complicadas em termos mais fáceis de somar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 
  para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Passo 4
Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes de 
  e os termos constantes devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 
 . Substituindo na segunda equação:
Então, 
 .
Passo 6
Agora, podemos reescrever a fração original:
E a série fica:
Passo 7
Vamos agora calcular os primeiros três termos da soma para encontrar 
 , 
  e 
 .
Para 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Passo 8
Somando os três primeiros termos:
Observamos que 
  e 
  se cancelam, ficando:
Então:
Passo 9
Para encontrar a soma geral 
 , percebemos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos até o n-ésimo termo:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, precisamos ver o limite quando 
  tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma total é 
 .
Resposta
(a) 
 , 
  e 
 ;
(b) 
 ;
© A soma da série é 
 .