Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
\int x^{3} \cos x^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int x^{3}\cos x^{2}\,dx.
É uma integral indefinida (pedem uma primitiva), então no final colocaremos a constante de integração C.

Passo 2

Lembrete do método que foi pedido: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos (e depois calculamos du),
  • dv é a outra parte do integrando (e depois calculamos v=\int dv).
    A ideia prática: escolher u de modo que du fique “mais simples” (por exemplo reduzir o grau de um polinômio) e escolher dv para que seja fácil integrar e obter v. Aqui temos um polinômio x^{3} multiplicado por \cos x^{2}, então uma boa estratégia é separar x^{3} como x^{2}\cdot x e tentar fazer dv com a parte x\cos x^{2}, pois isso integra bem por substituição.

Passo 3

Escolha das partes:
u = x^{2},\qquad dv = x\cos x^{2}\,dx.
Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du = d(x^{2}) = 2x\,dx.
Para achar v=\int dv=\int x\cos x^{2}\,dx fazemos a substituição simples: seja t = x^{2}, então dt = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac{1}{2}dt. Assim
v = \int x\cos x^{2}\,dx = \int \cos t\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{1}{2}\sin x^{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{3}\cos x^{2}\,dx = \int (x^{2})(x\cos x^{2})\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{3}\cos x^{2}\,dx = x^{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\sin x^{2}\right) - \int \left(\tfrac{1}{2}\sin x^{2}\right)\cdot(2x\,dx).
Simplificando os fatores dentro da integral:
\int x^{3}\cos x^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}\sin x^{2} - \int x\sin x^{2}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral restante \int x\sin x^{2}\,dx por substituição do mesmo tipo: seja t=x^{2}, então dt=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}dt. Assim
\int x\sin x^{2}\,dx = \int \sin t\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos t = -\tfrac{1}{2}\cos x^{2}.
Substituindo isso na expressão do Passo 4:
\int x^{3}\cos x^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}\sin x^{2} - \left(-\tfrac{1}{2}\cos x^{2}\right).
Fazendo a soma dos termos obtemos a primitiva (ainda sem a constante explícita).

Resposta

\tfrac{1}{2}x^{2}\sin x^{2}+\tfrac{1}{2}\cos x^{2}+C

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