Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
É uma integral indefinida (pedem uma primitiva), então no final colocaremos a constante de integração
.
Passo 2
Lembrete do método que foi pedido: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função que escolhemos (e depois calculamos ), -
é a outra parte do integrando (e depois calculamos ).
A ideia prática: escolherde modo que fique “mais simples” (por exemplo reduzir o grau de um polinômio) e escolher para que seja fácil integrar e obter . Aqui temos um polinômio multiplicado por , então uma boa estratégia é separar como e tentar fazer com a parte , pois isso integra bem por substituição.
Passo 3
Escolha das partes:
Agora calculamos
e
.
Derivando :
Derivando
Para achar
fazemos a substituição simples: seja
, então
e
. Assim
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os fatores dentro da integral:
Passo 5
Agora calculamos a integral restante
por substituição do mesmo tipo: seja
, então
e
. Assim
Substituindo isso na expressão do Passo 4:
Fazendo a soma dos termos obtemos a primitiva (ainda sem a constante explícita).