Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos x\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A integral é definida, com limites inferiores 0 e superior \tfrac{\pi}{2}.
  • O integrando é a função e^{x}\cos x.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que vamos usar: integração por partes. Ela vem da regra do produto na diferenciação. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
\big(u v\big)'=u'v+uv'.
Integrando ambos os lados em um intervalo ou indefinidamente, obtemos a fórmula de integração por partes. Em forma indefinida:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando as letras:
  • u é uma função escolhida que fica mais simples quando derivada; então du é sua derivada vezes dx.
  • dv é a outra parte do integrando que sabemos integrar facilmente; v é a primitiva de dv.
    Essa técnica é útil quando o integrando é um produto de funções, como e^{x}\cos x.

Passo 3

Estratégia: aplicar integração por partes duas vezes. Para escolher u e dv, uma boa regra prática é escolher u como a parte que não piora ao derivar (aqui e^{x} mantém-se e^{x}) e dv como a parte que sabemos integrar facilmente (aqui \cos x\,dx integra para \sin x). Então, inicialmente escolho
u=e^{x},\qquad dv=\cos x\,dx.
Logo
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\sin x.

Passo 4

Aplicando integração por partes à integral indefinida correspondente, chamo
I(x)=\int e^{x}\cos x\,dx.
Pela fórmula:
I(x)=uv-\int v\,du = e^{x}\sin x - \int \sin x\;e^{x}\,dx.
Defino a integral que apareceu:
J(x)=\int e^{x}\sin x\,dx.
Assim
I(x)=e^{x}\sin x - J(x).

Passo 5

Agora calculo J(x) também por integração por partes. Escolho novamente
u=e^{x},\qquad dv=\sin x\,dx,
então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=-\cos x.
Aplicando a fórmula:
J(x)=uv-\int v\,du = -e^{x}\cos x - \int (-\cos x)\,e^{x}\,dx.
Simplificando o sinal:
J(x)=-e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.
Mas \int e^{x}\cos x\,dx é justamente I(x). Logo
J(x)=-e^{x}\cos x + I(x).

Passo 6

Volto à expressão de I(x) do Passo 4 e substituo J(x):
I(x)=e^{x}\sin x - J(x) = e^{x}\sin x - \big(-e^{x}\cos x + I(x)\big).
Distribuo o sinal:
I(x)=e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I(x).
Agora somo I(x) aos dois lados para isolar:
2I(x)=e^{x}\big(\sin x+\cos x\big).
Portanto a primitiva geral é
I(x)=\frac{1}{2}e^{x}\big(\sin x+\cos x\big)+C,
onde C é constante de integração. (Pode-se verificar derivando este I(x) para ver que volta e^{x}\cos x.)

Passo 7

Como queremos a integral definida de 0 a \tfrac{\pi}{2}, avaliamos a primitiva encontrada nos limites. Defino a primitiva sem a constante:
F(x)=\frac{1}{2}e^{x}\big(\sin x+\cos x\big).
Calculo F nos extremos:
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: \sin\!\tfrac{\pi}{2}=1 e \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0, então
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}e^{\tfrac{\pi}{2}}(1+0)=\frac{1}{2}e^{\tfrac{\pi}{2}}.
  • Em x=0: \sin 0=0 e \cos 0=1, então
F(0)=\frac{1}{2}e^{0}(0+1)=\frac{1}{2}.

Passo 8

Subtraindo os valores (teorema fundamental do cálculo):
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} e^{x}\cos x\,dx = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-F(0) = \frac{1}{2}e^{\tfrac{\pi}{2}}-\frac{1}{2}.
Factorizando \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} e^{x}\cos x\,dx = \frac{1}{2}\big(e^{\tfrac{\pi}{2}}-1\big).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\big(e^{\tfrac{\pi}{2}}-1\big)

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