Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e objetivo:
- A integral é definida, com limites inferiores
e superior . - O integrando é a função
. - Objetivo: encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que vamos usar: integração por partes. Ela vem da regra do produto na diferenciação. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
Integrando ambos os lados em um intervalo ou indefinidamente, obtemos a fórmula de integração por partes. Em forma indefinida:
Explicando as letras:
-
é uma função escolhida que fica mais simples quando derivada; então é sua derivada vezes . -
é a outra parte do integrando que sabemos integrar facilmente; é a primitiva de .
Essa técnica é útil quando o integrando é um produto de funções, como.
Passo 3
Estratégia: aplicar integração por partes duas vezes. Para escolher
e
, uma boa regra prática é escolher
como a parte que não piora ao derivar (aqui
mantém-se
) e
como a parte que sabemos integrar facilmente (aqui
integra para
). Então, inicialmente escolho
Logo
Passo 4
Aplicando integração por partes à integral indefinida correspondente, chamo
Pela fórmula:
Defino a integral que apareceu:
Assim
Passo 5
Agora calculo
também por integração por partes. Escolho novamente
então
Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal:
Mas
é justamente
. Logo
Passo 6
Volto à expressão de
do Passo 4 e substituo
:
Distribuo o sinal:
Agora somo
aos dois lados para isolar:
Portanto a primitiva geral é
onde
é constante de integração. (Pode-se verificar derivando este
para ver que volta
.)
Passo 7
Como queremos a integral definida de
a
, avaliamos a primitiva encontrada nos limites. Defino a primitiva sem a constante:
Calculo
nos extremos:
- Em
: e , então
- Em
: e , então
Passo 8
Subtraindo os valores (teorema fundamental do cálculo):
Factorizando
: