Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x^{5} e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{5}e^{x^{2}}\,dx
usando o método de integração por partes, mas primeiro percebemos que é conveniente fazer uma substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2},\qquad dt = 2x\,dx
e escrevemos x^{5} = x^{4}\cdot x = (x^{2})^{2}\,x = t^{2}\,x. Logo,
\int x^{5}e^{x^{2}}\,dx =\int t^{2}e^{t}\,\frac{dt}{2} =\frac{1}{2}\int t^{2}e^{t}\,dt.

Passo 3

Agora calculamos
I = \int t^{2}e^{t}\,dt
por partes, escolhendo
u = t^{2},\quad dv = e^{t}\,dt
então
du = 2t\,dt,\quad v = e^{t},
e
I = t^{2}e^{t} - \int 2t\,e^{t}\,dt.

Passo 4

Fica preciso calcular
J = \int 2t\,e^{t}\,dt.
Aplicamos novamente partes com
u = 2t,\quad dv = e^{t}\,dt
para obter
du = 2\,dt,\quad v = e^{t},
logo
J = 2t\,e^{t} - \int 2\,e^{t}\,dt =2t\,e^{t} - 2e^{t}.

Passo 5

Substituindo J em I, temos
I = t^{2}e^{t} - \bigl(2t\,e^{t} - 2e^{t}\bigr) = \bigl(t^{2} - 2t + 2\bigr)e^{t}.

Passo 6

Voltando à variável x e lembrando do fator 1/2,
\int x^{5}e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}I + C =\frac{1}{2}\bigl(t^{2}-2t+2\bigr)e^{t}+C =\frac{1}{2}\bigl(x^{4}-2x^{2}+2\bigr)e^{x^{2}}+C.

Resposta

\boxed{\int x^{5}e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\bigl(x^{4}-2x^{2}+2\bigr)e^{x^{2}}+C.}

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