Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: vamos calcular
\int x^2 \ln x \, dx
pelo método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos as funções
u = \ln x, \quad dv = x^2 \, dx.
Então calculamos
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

No segundo termo simplificamos o integrando:
\int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{9}.

Passo 5

Reunindo tudo,
\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C.

Resposta

\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C

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